Формула Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р (0< p < 1). Следовательно, вероятность непоявления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 – p.

Часто возникает задача вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит ровно k раз.

Искомая вероятность обозначается P (k).

Например, символ Р (3), означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.

P (k) = ,

где .

Вероятности того, что в n испытаниях событие наступит: а)менее t раз; б) более t раз; в) не менее t раз; г) не более t раз находят соответственно по формулам:

a) P (0) + P (1)+…+ P (t–1)= P (k<t),

б) P (t+1) + P (t+2) + … + P (n) = P (k>t),

в) P (t) + P (t +1) + … + P (n) = P (k≥t),

г) P (0) + P (1) +… + P (t) = P (k≤t).

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,7. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,7. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q =1 – p = 1 – 0,7 = 0,3.

Из условия задачи следует, что n = 6; k=4.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

.