Понятие коалиционных игр

Ситуация значительно усложняется, когда в игре принимают участие более двух игроков. Водится понятие коалиции игроков, которые пользуются согласованной стратегией против интересов игроков, не входящих в их коалицию. Тогда могут быть вычислены ожидаемые выигрыши (значения игры) для каждой коалиции. В частности, вычисляются значения игры для каждого игрока в предположении, что он играет против коалиции всех других игроков. Обозначим эти значения g₁,g₂,…,g_n. Нормальный выигрыш игрока должен быть не меньше соответствующего значения игры, назовем такой выигрыш обязательством. Таким образом, (s₁,s₂,…,s_n) – обязательство, если s_i≥g_i для i=1,2,…,n и ∑_is_i=G, где G – значение игры (суммарный выигрыш всех игроков, не обязательно равный нулю). Тогда решением для игры n лиц будет такое множество обязательств, что ни одно обязательство этого множества не доминирует над другими обязательствами того же множества и для любого обязательства, не принадлежащего этому множеству, найдется обязательство нашего множества, доминирующее над ним. (Теорема фон Неймана и Моргенштейна). Отношение доминирования используется только для двух игроков или больше и заключается в превышении выигрышей этих игроков в одном обязательстве по отношению к выигрышам этих же игроков в другом обязательстве.

Коалиционные игры являются подклассом неантагонистических игр n лиц. При рассмотрении коалиционной игры предполагается, что игроки разбиваются на коалиции (формируя тем самым коалиционное разбиение), и игроки, входящие в одну коалицию действуют в ее интересах с целью максимизации суммарного коалиционного выигрыша. Этим коалиционные игры отличаются от кооперативных игр, в которых допускается образование любых коалиций, а из-за супераддитивности характеристической функции фактически предполагается, что все игроки объединяются в «большую» коалицию с целью максимизации суммарного выигрыша, и проблема заключается в нахождении дележа этого суммарного выигрыша, который был бы приемлем для всех игроков. В коалиционных же играх ставится двойная задача: определение оптимального поведения коалиций как отдельных игроков, и, как следствие, нахождения выигрышей этих коалиций как результат их оптимального поведения, и, наконец, нахождения приемлемого дележа коалиционного выигрыша между игроками, входящими в коалицию.