Развитие понятия натурального числа

Рассматривая вопрос формирования понятия натурально­го числа у детей, нужно иметь четкое представление о разви­тии этого понятия в историческом аспекте - филогенезе. Изу­чение истории математики, в частности периода ее зарожде­ния, дает возможность понять основные закономерности возникновения первых математических понятий: о множе­стве, числе, величине, об арифметических действиях, систе­мы счисления и др. и использовать эти закономерности с уче­том передового педагогического опыта и современных иссле­дований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математи­ки, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практи­ческой деятельностью возникла потребность как-то количе­ственно оценивать совокупности. Сначала количество эле­ментов в множествах не отделялось от самих множеств, вос­принималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), а мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно пото­му, что отдельные предметы четко отличались по своим при­знакам.

На этой стадии развития понятие числа представляло со­бой также отдельные числа-свойства и числа-качества конк­ретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии - чисел-свойств.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые со­вокупности, но и создавать совокупности определенного ко­личества. Для этого предметы определенной совокупности по одному сопоставлялись непосредственно с предметами ругой совокупности или непосредственно с помощью не­которого эталона - зарубок, узелков, части тела человека и др. Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так практически человек овладевал опе­рацией установления равенства, взаимно-однозначного со­ответствия.

Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой пере­хода к счету. Однако число как общее свойство равночислен­ных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке, и т.д. Этот период в истории развития натурального числа называ­ется стадией счета на пальцах.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запяс­тью, локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке. У островитян Торресового пролива счет с помощью частей человеческого тела был возможен до 33. Если сово­купность имела больше 33 элементов, использовали палоч­ки. Именно в этом случае, когда исчерпывалась возмож­ность использования частей тела, начинали пользоваться па­лочками (причем все палочки были приблизительно одинаковые). Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «живой шкалы». Очевидно, она сначала была нужна не для индивидуализации чисел, выделения каж­дого отдельного числа, а лишь для сравнения, установления взаимно-однозначного соответствия между предметами обе­их совокупностей.

Для проведения арифметических операций человек ис­пользовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные со­вокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с по­мощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.

Выдающийся русский ученый и путешественник М.М. Миклухо-Маклай (1846—1888) описывает жизнь па­пуасов - жителей Новой Гвинеи, любимый способ счета которых состоял в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, при этом произносит определенный звук, на­пример «бе, бе, бе,...». Досчитав до 5, он говорит «ибон-бе» (рука), потом загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе, бе,...», пока не дойдет до «ибон-али» (две руки). Тогда он идет дальше, пока не дойдет до «самба-али» (две нога). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого.

В процессе развития общества все больше и больше сово­купностей приходилось пересчитывать, простое установле­ние равночисленности и счета на пальцах уже не могло удов­летворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно боль­ших совокупностей.

Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую сис­тему счета можно назвать групповой, или счетом с помо­щью чисел-совокупностей. Идея считать группы была под­сказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встреча­ются на практике постоянными группами (парами, тройками, десятками, пятерками).

У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-бана-ра» - 10 корзин с едой, но отдельно «на», которому бы соответствовало число 10, не используется. На одном из ди­алектов индийцев западной части Канады слово «тха» озна­чает 3 вещи, «тхе» - 3 раза, «тха-тоэн» - в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, у них нет. Наличие в определенных совокупностях именно этой части показывает, что люди уже начинают примечать и ото­бражать в своем языке группы, имеющие общие свойства. На этой стадии развития счета не каждой группе приписывается число, а только те группы являются числами-совокупностя­ми, которые часто встречаются в хозяйственной или другой деятельности племени.

Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пере­жило все человечество. Во всех языках, в том числе и сла­вянском, есть такие грамматические формы, как единич­ная, двойственная и множественная. Слово, которое обозна­чает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве предметов. В некоторых языках есть особая форма тройствен­ности. Эти речевые формы - пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».

Под влиянием обмена одна из групп предметов становит­ся мерой для других, своеобразным эталоном. С этой группой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других, постепенно привело к тому, что позднее начала осознаваться количе­ственная сторона этой группы. Количественная характерис­тика группы предметов постепенно приобретает самостоя­тельное значение. Так возникло понятие числа и его назва­ние, т.е. понятие о конкретных числах. Числа использовались, прежде всего, для практических целей людей: счет скота, шкур и др. Постепенно эти числа начали использоваться для пересчитывания некоторых множеств. Так, например, воз­никло слово-число сорок. В русских народных легендах ему принадлежит особенная роль. Корень слова сорок, или соро-чок, тот же самый, что и в слове сорочка. На шубу шло 40 штук соболей. Известно, что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок, или сорочок, соболей составляли целую шубу и также были единицей ценности.

Первые числа были своеобразными «островами», опреде­ленными ориентирами в счете. Счет велся пятерками, десят­ками, дюжинами некоторых предметов, т.е. числа-совокуп­ности были узловыми числами, это название закрепилось в арифметике. Узловые числа - это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные чис­ла, названия. Остальные числа называют алгорифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Алгорифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами.

Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для ха­рактеристики определенного способа действий с конкрет­ным множеством. Так, в речи индейцев Северной Америки, а также племен Британской Колумбии выкладывание пер­вых двух десятков предметов не сопровождается этими сло­вами-классификаторами. А счет последующих единиц сло­весно оформляется как результат действия. Например, число 26 обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть». Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратных десяти. Таким образом, эти термины существуют лишь для того, чтобы размещать по разрядам единицы, которые идут за десятками, но не сами десятки.

Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих язы­ках, в том числе и в русском языке. Так, числа от одиннад­цати до девятнадцати произносятся как соответствующее число единиц, положенных на десять: один на дцать, пять на дцать и т.д. В этом случае частицу на следует понимать имен­но как положенное на. Позднее возникли арифметические операции.

Постепенно определился последовательный ряд натураль­ных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чи­сел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умножение. Особен­но это прослеживается в римской нумерации: VI=5+1; ХС=ЮО-10 и т.д. Образование алгорифмических чисел на основе использования арифметических операций нашло от­ражение в названиях некоторых чисел в украинском, бело­русском, французском и других языках.

Однако числовой ряд на этой стадии еще не был одно­родным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40 и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобре­тало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было ос­новой для возникновения запретов, связанных с этими чис­лами. Некоторые из этих поверий сохранились до настояще­го времени, такими числами были: 7, 13, 40 и др.

Число 40 в легендах многих восточных народов играет особую роль. Выражение сорок сороков, часто используемое в русском языке, является обозначением очень большого, бесконечно большого числа.

Что касается счета сороками, то есть и еще одно предпо­ложение, что это исходит от счета по суставам пальцев. Си­бирские звероловы считали большим пальцем по двум сус­тавам остальных четырех пальцев. Таким образом, досчитыва­ли до сорока. Использование третьего сустава в этом процессе считалось неудобным.

Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным. Натуральных чисел бес­конечно много, среди них нет наибольшего. Какое бы боль­шое число мы ни взяли, если прибавим к нему единицу, то получим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом ос­мыслении арифметики.