Коэффициент интенсивности напряжений

Механика усталостного разрушения

Одной из отличительных особенностей процесса развития трещины усталости является возможность оценки ее развития по изменению размера. Первый этап роста трещины можно считать и заключительным этапом ее образования.

На этапе образования образуется в результате объединения микротрещин под действием касательных напряжений. Процесс образования макротрещин отличается от процесса их дальнейшего развития, так как на первом этапе это трещины сдвига, которые потом развиваются как трещины нормального отрыва.

Рассмотренный этап (завершающий процесс микрорастрескивания при усталости и начальный для распространения макротрещин), изучен еще недостаточно. Этот этап уже можно анализировать методами механики разрушения, но в то же время процесс развития маленьких трещин существенно отличается от больших трещин. Очень часто в элементах с концентрацией напряжений на этом этапе развивается рядом несколько трещин, причем некоторые постепенно прекращают возрастать, а одна из них развивается в магистральную макротрещину.

Дальнейший процесс происходит в 3-4 этапа. Все они могут быть проанализированы методами механики разрушения, а определяющим фактором является величина напряжений растяжения.

Коэффициент интенсивности напряжений.

Для эллиптической трещины с большой осью и малой осью (рис.6) максимальное напряжение у концов главной оси равно

. (1)

– приложенное напряжение, направленное по нормали к главной оси; – половина главной оси; – половина малой оси.

Радиус кривизны у конца главной оси эллипса определяется уравнением:

. (2)

Рис. I. Эллиптическое отверстие в бесконечно большой пластине обусловливает возникновение концентрации напряжений пропорциональной

Тогда, после объединения (1) и (2), получим

при . (3)

Концентрацию напряжений у трещины можно оценить с помощью соответствующего коэффициента:

. (4)

В декартовых координатах с началом в вершине трещины и осью , направленной вдоль большой полуоси эллипса, распределение растягивающих напряжений для малых значений координаты имеет вид

. (5)

При из (5) следует выражение (3).

Для трещины с острым кончиком ( и ) формула (5) преобразуется в предельное соотношение

, (6)

где параметр K называется коэффициентом интенсивности напряжений (КИН).

В общем случае КИН можно представить в виде

, (7)

где a - коэффициент, учитывающий форму и размер образца, форму трещины, тип нагружения (изгиб, растяжение, сдвиг).

Величину КИН можно интерпретировать как степень высвобождения упругой энергии при разрушении.

Изложенные выше положения справедливы для случая идеального упругого деформирования материала в области, примыкающей к трещине. Однако значительная концентрация напряжений (при , ) должна приводить в реальных материалах к локальному пластическому деформированию, когда локальные растягивающие напряжения у кончика трещины превысят предел текучести: (рис.2 и 3).

Рис.2. Пластическое деформирование у кончика трещины.

Рис.3. Размеры пластической зоны (затемненная область) при разрушении по хрупкому и вязкому механизмам.

Размер зоны пластического деформирования (ЗПД) s в направлении оси x можно оценить по формуле

. (14)

Оценка (14) является заниженной. С учетом перераспределения напряжений в ЗПД ее длину увеличивают в два раза и в расчетах пользуются формулой

(15)

Более точную оценку величины размера s дает модель Дагдайла - Баренблатта. Предполагается, что длина трещины и что существуют напряжения, стремящиеся захлопнуть трещину на участке (рис. 4).

Рис. 4. Модель упругой трещины для определения размера ЗПД.

Предполагается также, что эти напряжения близки по значению к пределу текучести материала в идеально пластичном теле и действуют в локальной зоне пластического деформирования. Из условия равновесия гипотетической трещины с полудлиной при (отсутствуют особенности в распределении напряжений у вершины) получено

. (16)

При уравнение (16) приобретает вид

. (17)

Критерий разрушения Гриффитса.

Критерии разрушения вытекают из той или иной теории разрушения. В этом аспекте особое место занимает теория разрушения идеально упругого тела – термодинамическая теория Гриффитса.

Рассмотрим бесконечную пластину, в которой расположена трещина полудлиной с. Трещина развивается в условиях плосконапряженного (двухосного) состояния под действием приложенного к пластине перпендикулярно к длине трещины растягивающего напряжения s (рис. 5).

Рис. 5. Трещина в упруго деформированной бесконечной пластине.	Рис. 6. Зависимость длины трещины от свободной энергии

С увеличением длины трещины до размера изменяется энергия системы. Гриффитс постулировал, что для распространения трещины под действием внешних нагрузок необходимо, чтобы энергия W, идущая на создание новой поверхности разрушения, поступала за счет освобожденной в упругом теле энергии деформации U. Свободная энергия системы F будет равна

, (18)

причем ее стационарное значение соответствует некоторой критической длине трещины . Предполагается, что развитие трещины происходит, когда полудлина трещины с превышает критическую величину (рис. 6). Из условия экстремума функции (18) имеем

. (19)

Наличие трещины в упругодеформированном теле приводит к разгрузке локальной области материала, окружающей трещину. Предполагается, что эта зона имеет дискообразную форму диаметром 2 с (рис. 3). Тогда уменьшение упругой энергии (на единицу толщины листа) из-за наличия трещины будет равно

. (20)

Энергия, необходимая для образования новых поверхностей трещины в результате разрыва межатомных связей и отнесенная к единице поверхности, называется поверхностной энергией и обозначается символом . Тогда, для образования двух поверхностей раздела трещины длиной 2 с необходима энергия (на единицу толщины листа):

. (21)

Из уравнения (19) с учетом (20) и (21) получаем выражение для определения разрушающего напряжения при наличии трещины полудлиной с:

. (22)

При плоской деформации используют выражение

. (23)

Теория Гриффитса применима к идеально упругому деформированию у кончика трещины. В реальных материалах, как уже отмечалось, впереди фронта трещины существует зона пластической деформации. В этом случае упругая энергия расходуется не только на образование новых поверхностей трещины, но и в значительной мере на пластическое деформирование материала в тонком слое у кончика трещины. С учетом ЗПД уравнение (22) преобразуется в уравнение Гриффитса – Орована - Ирвина:

, (24)

где - работа поверхностной пластической деформации, причем .

С учетом значения КИН: , уравнение (24) позволяет определить один из основных критериев линейно-упругой механики разрушения – критическую величину КИН для хрупкого разрушения:

(25)

При увеличении нагрузки в материале с трещиной полудлиной полное разрушение, обусловленное энергетически выгодным распространением трещины, наступает при .

Критическое значение КИН в условиях плоской деформации обозначается как . На практике коэффициент определяется на образцах специальной формы, имеющих стандартизованную по геометрическим параметрам трещину и при нагружении которых реализуется заданный тип напряженного состояния (табл. 1).

С позиций механики разрушения хрупкое разрушение представляет собой сочетание различных макроскопических факторов (размер, форма образца и трещины, вид нагружения), а также микроскопических структурно чувствительных и влияющих на факторов.

Таблица 1.

Формулы для определения КИН на различных образцах

Схема нагружения	Формула
	; ; ; t – толщина плоского образца.
	; ; М – момент в сечении с трещиной; t – толщина плоского образца.
	; ; ; М – момент в сечении с трещиной; t – толщина плоского образца.

Например, поскольку протяженность зоны пластической деформации у вершины трещины зависит от толщины пластины, величина также зависит от толщины образца (рис. 7).

а	б
в	Рис. 7. Напряжение по толщине тонких (а) (плоское напряженное состояние) и толстых (б) (плоскодеформированное состояние) листов. Форма зон пластического деформирования при плоском напряженном состоянии (1) и плоскодеформированном состоянии (2).

В условиях плоского напряженного состояния с увеличением толщины образца значение критического КИН увеличивается, достигает максимума и затем уменьшается (рис. 8). В условиях плоской деформации практически не изменяется.

Рис. 8. Зависимость критического значения КИН от толщины пластины: I – плоское напряженное состояние; II - плоская деформация.