Студопедия
МОТОСАФАРИ и МОТОТУРЫ АФРИКА !!!


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

IV Аналитическая геометрия




Глава IV

Аналитическая геометрия – область геометрии, в которой изучаемому геометрическому объекту (поверхности или линии) ставится в соответствие определённое уравнение или система уравнений, и исследование геометрических объектов сводится к исследованию соответствующих уравнений.

Одному и тому же геометрическому объекту могут быть отнесены уравнения разных типов: векторное, уравнение в декартовых координатах, векторно-параметрическое и скалярно-параметрическое и т.д.

Сказанное выше поясним на конкретных поверхностях и линиях.

1) Плоскость

Простейшей из поверхностей является плоскость. Рассмотрим различные типы уравнений плоскости и исследуем эти уравнения.

a) Векторное уравнение плоскости

Пусть в пространстве выбрана прямоугольная система координат xOyz и задан вектор и т. , а следовательно и радиус-вектор этой точки .

 
 

Очевидно, что существует только одна плоскость Q, которая проходит через т. , и перпендикулярна вектору (прямой на которой он расположен).

Вектор называется вектором плоскости Q.

Пусть т. - текущая точка плоскости Q.

Очевидно, что и данной :

Т.к. , где , тогда

- векторное уравнение плоскости Q, заданной векторами и .

b) Уравнение плоскости в декартовых координатах

Т.к. , а , то можно переписать через координаты векторов.

- уравнение в декартовых или уравнение плоскости, проходящие через данную т. перпендикулярно вектору .

c) Общее уравнение плоскости

- общее уравнение плоскости

D – характеризует отдаленность плоскости.

d) Уравнение плоскости в отрезках на осях

 
 

Обозначим Получим - уравнение плоскости в отрезках на осях.

e) Векторно-параметрическое уравнение плоскости

Пусть в пространстве xOyz заданы два неколлинеарных вектора.

и т. существует только одна плоскость, которая проходит через т. и параллельна векторам и .

Рассмотрим векторы и

 
 

Пусть т. - любая текущая точка плоскости Q, тогда

, где

Векторы и неколлинеарные следовательно образуют на плоскости Q векторный базис следовательно . Т.к. т.М любая, то скаляры U и V принимают независимо друг от друга любые действительные значение.

Подставим в вместо его разложение по векторам и , получим:

- векторно-параметрическое уравнение плоскости Q, которая задана вектором , точки и векторами и , которые называются направляющими векторами плоскости Q.

f) Скалярно-параметрическое уравнение плоскости.

Проектируяобе части уравнения на оси координат, получим скалярно-




параметрическое уравнение плоскости Q.

g) Другая форма записи уравнения плоскости в декартовых координатах.

Рассмотрим и . Если т. и т. , то все эти три вектора компланарны.

Условие компланарности трех векторов имеет вид:

h)

 
 

Условие параллельности, перпендикулярности двух плоскостей, угол между плоскостями.

Пусть даны две плоскости и .


i)

 
 

Исследование общего уравнения плоскости

Пусть плоскость Q задана уравнением

(**)

Как она расположена относительно системы координат xOyz, если некоторые коэффициенты уравнения (**) равны нулю?

1) . В этом случае координаты т. удовлетворяют этому уравнению т. , т.е. плоскость Q проходит через начало координат.

2) С=0: уравнение (**) примет вид:

. В этом случае . Из и . Итак, если С=0 .

Аналогично:

3)

4)

5)

6)

7) или z=0. В этом случае Q||xOy и т. , т.е. Q совпадает с xOy и т.д.

j) Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана т. и плоскость (Q): . Найти расстояние от т. до (Q).

2) Прямая в пространстве

a) Уравнение прямой в декартовых координатах

Прямая (g) в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, заданных своими уравнениями в декартовых координатах:

Символически это записывается так:

b) Векторно параметрическое уравнение прямой:

Пусть прямая задана т. и направленным вектором , . Возьмем на прямой произвольную точку (текущую) . прямая проходящая через данную точку параллельному данному вектору.



Когда параметр t принимает все значения из интервала , т.М – пробегает прямую (g).

c) Скалярно параметрическое уравнение прямой

Распишем проектируя обе части уравнения на оси координат. Пишим

скалярно-параметрическое уравнение прямой:

d) Каноническое уравнение прямой.

Если из исключить параметр t то мы придём к уравнениям прямой в

канонической форме:

e) Уравнение прямой проходящее через две заданные точки.

Через две точки проходит единственная прямая .





Дата добавления: 2015-05-13; просмотров: 381; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9831 - | 7694 - или читать все...

Читайте также:

 

18.207.132.114 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.007 сек.