Интегрирование

Интегрирование является одной из основных математических операций, и ее электрическая реализация означает построение схемы, в которой скорость изменения выходного напряжения пропорциональна входному сигналу. В графической интерпретации выходное напряжение оказывается пропорциональным площади под кривой входного напряжения. Те или иные разновидности интеграторов встречаются во многих аналоговых системах. Наиболее часто они применяются в активных фильтрах, а также в системах автоматического регулирования для интегрирования сигнала ошибки. Интегратор можно рассматривать как ФНЧ первого порядка, у которого наклон АЧХ составляет -20 дБ/декада. Две простейшие схемы интеграторов представлены на рис. 7.1.

Упростого RC-интегратора, показанного на рис. 7.1а, имеются два серьезных недостатка. Во-первых, он значительно ослабляет входной сигнал и, во-вторых, имеет высокое выходное сопротивление. В результате такая схема на практике применяется редко. Стандартный интегратор с ОУ, показанный на рис. 7.1б, содержит входной резистор R₁ и конденсатор С_ъ включенный в цепь обратной связи ОУ А. Ток, поступающий на инвертирующий вход ОУ, определяется сопротивлением резистора R1. За счет большого собственного коэффициента усиления ОУ его инвертирующй вход оказывается виртуальной землей. В результате входной ток определяется только входным напряжением и резистором R1. Следовательно, практически весь входной ток (с точностью до входного тока ОУ.)протекает через конденсатор С1 заряжая его; при этом реализуется операция интегрирования.

Передаточная функция интегратора:

Диапазон рабочих частот:

нижняя частота:

верхняя частота:

где A_V- коэффициент усиления ОУ, а f_A - произведение коэффициента усиления на полосу пропускания.

Входное сопротивление схемы: R_ВХ = R1.

Скорость дрейфа выходного напряжения (наихудший случай):

из-за напряжения смещения U_СМ.ВХ и входного тока смещения I_СМ.ВХ ОУ

из-за утечки через сопротивление R_ОС

из-за входного дифференциального сопротивления ОУ R_ВХ.ДИФ:

Конечное значение выходного напряжения смещения:

Основной проблемой в аналоговых интеграторах является дрейф выходного напряжения, вызванный зарядом конденсатора С1 токами утечки, входными токами смещения и входным напряжением смещения ОУ A.Схема фактически интегрирует "неидеальности" ОУ и других элементов. Если не принять никаких мер, на выходе схемы появится большое непостоянное смещение, которое, в конечном счете, приводит к насыщению ОУ. Можно предложить три способа решения этой проблемы.

· Если интегратор является частью большей схемы, охваченной общей обратной связью, например фильтра с переменными пара­метрами из гл. 6, то дрейф интегратора не вызывает особых ос­ложнений, так как компенсируется общей обратной связью.

· Если интегрируемый сигнал не содержит постоянной составляю­щей, то в цепь обратной связи ОУ можно специально включить резистор RОС, показанный на рис. 7.1. Этот резистор обеспечивает путь для входных токов смещения в обход конденсатора С1. Такой прием используется только в случаях, когда нижняя частота спектра входных сигналов превышает 1 Гц, так как при меньших частотах понадобится слишком большой резистор RОС Сопротивление RОС должно быть с одной стороны достаточно малым, чтобы уменьшить выходное смещение до приемлемого уровня, а с другой — доста­точно большим для того, чтобы схема работала как интегратор во всем диапазоне частот входного сигнала.

· Если требуется интегрировать сигналы постоянного тока, в цепь обратной связи можно ввести ключ сброса SW\ для периодического разряда конденсатора С1.

Чтобы продемонстрировать величину возможного дрейфа, предположим, что используется КМОП-ОУ с периодической коррекцией дрейфа с конденсатором обратной связи С₁ = 10 мкФ и резистором R₁ = 10 МОм. Для таких ОУ типичными значениями являются U_IO = 1 мкВ и I_В = 1 пА. При таких параметрах схемы скорость дрейфа выходного напряжения составит 0,4 мВ/час. Для снижения дрейфа необходимо тщательно продумать монтаж и конструкцию интегратора, так как, кроме входного тока смещения инвертирующего входа интегратора, на работу схемы оказывают влияние и другие токи утечки. Рекомендуется предусмотреть охранные кольца с обеих сторон платы вокруг инвертирующего входа. Плату необходимо тщательно очистить. Чтобы достичь сверхмалых токов утечки при монтаже инвертирующего входа интегратора можно использовать изолирующие фторопластовые стойки.

Если для разряда конденсатора применяется аналоговый ключ, его собственный ток утечки должен быть меньше входного тока ОУ. Для уменьшения токов утечки можно использовать последовательное соеди­нение полевых транзисторов или аналоговых ключей.

Идеальный интегратор имеет частотную характеристику с постоянной крутизной спада -20 дБ/декада во всем диапазоне частот. Характеристики реальных интеграторов отличаются от идеальных, что показано на рис. 7.2 для случая малых входных сигналов.

Нижняя рабочая частота определяется либо конечным коэффициентом усиления ОУ, либо конечным значением сопротивления утечки R_ОС. Интегратор может оказаться неработоспособным на низких частотах из-за большого выходного дрейфа. Верхняя рабочая частота интегратора ограничена конечным произведением коэффициента усиления на ширину полосы пропускания ОУ. Чтобы схема работала как интегратор, спектр входного сигнала должен с определенным запасом лежать в рабочем диапазоне частот (например, в 10 раз выше нижней и ниже 1/10 верхней предельных частот).

Как было отмечено, верхний предел частотной характеристики интегратора ограничивается конечной шириной полосы пропускания ОУ, который создает дополнительный полюс на АЧХ на частоте, примерно равной f_A, где f_A - произведение коэффициента усиления на ширину полосы пропускания ОУ. Этот дополнительный полюс вызывает появление на высоких частотах погрешности фазового сдвига и коэффициента усиления. Один из способов коррекции этой погрешности состоит во включении небольшого конденсатора С_КОМП параллельно резистору R₁ для устранения дополнительного полюса. Учитывая, что l/2πR1C1 «f_A, зна­чение С_КОМП выбирается из условия f_A= l/2π(R1C_КОМП). Добиться пол­ной коррекции трудно, так как точное значение f_A, как правило, неиз­вестно; этим способом можно уменьшить погрешности примерно на порядок, но при слишком большом значении С_КОМП схема может возбудиться.

В случае больших входных сигналов в схеме появляются искажения, связанные с ограниченной скоростью нарастания выходного напряжения ОУ. Необходимо убедиться, что максимальная скорость изменения выгодного напряжения интегратора не превышает скорости нарастания выходного напряжения ОУ, и не ограничивается величиной тока, которым ОУ может заряжать емкостную нагрузку. Особенно это важно в быстродействующих схемах при больших емкостях конденсатора С₁.Максимальная скорость изменения выходного напряжения ограничивается величиной I_ВЫХMAX/(C1+C_Н),где I_ВЫХMAX - максимальный выходной ток ОУ, а С_Н - емкость нагрузки.

Если требуется большая постоянная времени интегратора (т.е. C1R1 ), то значения R1и C1должны быть большими, порядка мегаом и микрофарад. Это вызывает некоторые неудобства, поскольку конденсаторы большой емкости (более 1 мкФ) не только имеют большие габариты, но и имеют худшие электрические характеристики, такие как сопротивление утечки, повышенная диэлектрическая абсорбция и потери в диэлектрике. Введение в схему высокоомных резисторов (более 1 МОм) делает ее более подверженной влиянию паразитных емкостей и утечек; кроме того, такие резисторы менее стабильны и более дороги. Чтобы избавиться от этих проблем, вместо резистора R1можно использовать Т-образное соединение резисторов (рис. 7.3).

В этой схеме важно избежать паразитных емкостей и утечек между точками А и В, так как они окажутся вклю­ченными параллельно эквивалентному сопротивлению R_ЭКВ. Для этого разрабатывается такая топология схемы, чтобы точки А и В были хорошо изолированы друг от друга, возможно, с применением защитных печатных дорожек. Сопротивления утечки и емкости, параллельные резисторам R1Aи R1B, оказывают меньшее влияние, так как оба эти резистора могут иметь сравнительно небольшие сопротивления, в чем, собственно, и заключается преимущество Т-образного соединения. Отметим, что Т-образное соединение можно использовать и для получения больших эквивалентных сопротивлений резистора R_ОС. Базовую схему интегратора легко видоизменить для интегрирования, суммы нескольких сигналов, подаваемых на инвертирующий вход (рис. 7.4).

Наибольшее число сигналов ограничивается суммарной проводимостью резисторов, присоединенных к инвертирующему входу; соответствующее эквивалентное сопротивление R_1ЭКВ равно

Это значение подставляется вместо R1 в расчетное соотношение для выходного напряжения смещения; из него следует, что увеличение ко­личества входов увеличивает дрейф выходного напряжения.

Для интегрирования разности двух сигналов применяется схема, по- казанная на рис. 7.5.

Она очень похожа на схему дифференциального усилителя, но в ней два резистора заменены на два конденсатора. В схеме требуется тщательное согласование резисторов и конденсаторов, иначе мы получим плохой коэффициент ослабления синфазного сигнала (KOCC). Значение КОСС (комплексное)при рассогласовании элементов определяется выражением:

где Δ(RC)— разность постоянных времени (R1C1 — R2C2), Дрейф выходного напряжения описывается выражением:

Если требуется дифференциальный интегратор с высоким КОСС, к суммирующему интегратору подключается еще один ОУ, действующий как инвертор (рис. 7.6).

КОСС этой схемы намного выше, так как он зависит только от согласования резисторов, а не конденсаторов.

Для получения неинвертирующего интегратора можно либо заземлить инвертирующий вход (U_ВХ1) дифференциального интегратора (рис. 7.5), либо включить после интегратора инвертирующий каскад. Инвертор лучше включать после интегратора для сохранения динамического диапазона (по скорости нарастания выходного напряжения),поскольку интегратор ослабляет высокочастотные сигналы.

Исключив входной резистор (рис. 7.7а), базовый интегратор можно превратить в интегратор тока (см. гл. 3 об усилителях заряда).

Рис. 7.7. Интеграторы тока: а) простой с виртуальной землей, б) дифференциальный, в) дифференциальный с виртуальной землей

Можно построить также дифференциальный интегратор тока (рис. 7.7б). Дифференциальный интегратор тока имеет несколько серьезных недостатков, таких, как необходимость тщательного согласования конденсаторов и применение источника тока с высоким выходным сопротивлением. Эти проблемы решаются включением еще одного ОУ (рис. 7.7в); в этом случае один ОУ действует как интегратор тока, а дополнительный - как токовое зеркало.

На рис. 7.8 приведены две схемы для сложения интеграла от входного сигнала с самим сигналом.

Рис. 7.8. Суммирование входного сигнала и его интеграла: а) неинвертирующее, б) инвертирующее.

Надо иметь в виду, что скорость дрейфа выходного напряжения в этих схемах такая же, как в базовом интеграторе.

Если необходимо произвести операцию двойного интегрирования, например, выходного сигнала акселерометра для определения смещения, вместо использования двух интеграторов рассмотрим вариант применения ФНЧ второго порядка с наклоном АЧХ - 40 дБ/декада. Реализующая этот вариант схема представлена на рис. 7.9.

Рис. 7.9. Применение фильтра нижних частот в качестве двойного интегратора.

Схема описывается следующей передаточной функцией:

При выборе компонентов С1= С2 = С3 = С, R1 = R2 = R и R3 = R/4 (при этом полюсы и нули компенсируются), получим:

Отметим, что компенсация полюсов и нулей происходит на. частоте, которая обычно близка к середине рабочего диапазона частот. Для получения хорошей компенсации требуется очень точное согласование элементов. Дрейф выходного напряжения описывается выражением:

Другой способ интегрирования аналогового сигнала с использованием элементов цифровой техники показан на рис. 7.10.

Здесь входной сигнал Преобразуется в частоту с помощью преобразователя напряжения в частоту (ПНЧ). После этого интеграл от входного сигнала определяется путем подсчета импульсов выходной частоты ПНЧ с помощью двоичного счетчика. Значение интеграла преобразуется в аналоговую форму с по­мощью ЦАП. Достоинство этой схемы состоит в том, что значение интеграла хранится не в виде заряда на конденсаторе, а в счетчике в цифровом виде и не подвержено дрейфу.