Методические указания по выполнению первого задания. Для выполнения задания необходимо ознакомиться с материалом / 1, с

Для выполнения задания необходимо ознакомиться с материалом / 1, с. 97-127, 2, с. 148-200/.

Деформацией называют изменение размеров и формы тела под действием приложенных усилий. Деформация может вызываться приложенными внешними силами или различными физико-механическими процессами, возникающими в материалах вследствие температурного градиента или изменения объёма кристаллов при фазовых превращениях.

Для оценки действия внешних сил, не зависящих от размеров деформируемого тела, вводится понятие напряжения, которое численно равно отношению силы Р к площади поперечного сечения . В каждом элементе сечения различают нормальные напряжения σ, действующие перпендикулярно плоскости, и касательные τ (лежащие в самой плоскости), действующие вдоль направления плоскости (рис.1).

Различают временные напряжения, обусловленные действием внешней силы, которые исчезают после снятия нагрузки и внутренние остаточные напряжения, возникающие в пределах тела без приложения внешней нагрузки. Образование внутренних остаточных напряжений связано в основном c неоднородным распределением деформаций по объёму тела.

Рис. 1. Схема распределения нормальных и касательных напряжений в материале

Они часто возникают при быстром нагреве или охлаждении материала вследствие неодинакового расширения или сжатия наружных или сжатия наружных и внутренних слоев (тепловые напряжения). Кроме того, остаточные напряжения возникают в процессе кристаллизации, при неравномерной деформации, при термической обработке из-за неоднородного протекания фазовых превращений. Эти остаточные напряжения называют фазовыми, или структурными.

Деформации, вызываемые нагрузками, могут быть трёх типов:

-упругая деформация - обратимая, исчезающая после снятия нагрузки;

-пластическая деформация - необратимая, остающаяся после снятия нагрузки;

-деформация разрушения - нарушение сплошности материла вследствие появления трещин или разделения его на отдельные части

При упругой деформации частицы (атомы) незначительно смещаются из положения равновесия под действием внешних сил. Эти смещения, нарушающие равновесное состояние атомов в кристаллической решётке, приводят к возникновению внутренних сил притяжения, стремящихся возвратить частицы в первоначальное положение равновесия. После снятия нагрузки атомы возвращаются в первоначальное положение равновесия сия (на дно своих потенциальных ямок). Сила, стремящаяся вернуть атомы в первоначальное положение, приближённо пропорциональна деформации ε

, (1)

где а – коэффициент пропорциональности. Умножая на число атомов NS находящихся на единице площадки поперечного сечения образца, получаем выражение, связывающее напряжение с деформацией

, (2)

или

где Е – модуль упругости, к – коэффициент, равный обратной величине модуля упругости и называется упругой податливостью, S – площадь поперечного сечения образца.

Соотношение 2 выражает закон Гука, согласно которому небольшие смещения частиц тела при упругой деформации пропорциональны действующим напряжениям. Модуль упругости Е характеризует жёсткость материала - его сопротивление упругим деформациям. Чем выше модуль упругости, тем меньше упругая деформация при данном напряжении. Значение модуля упругости определяется силами межатомного взаимодействия и является константой материала. Чем больше энергия связи и чем круче кривая атомного взаимодействия, тем выше Е. Большое значение Е наблюдается у тугоплавких материалов и малое значение - у органических материалов молекулярной структуры. Например, модуль упругости для алюминия - 70·10³МПа, для меди – 130·10³МПа, для железа -200·10³МПа. Наиболее жёстким является алмаз (Е = 1200·10³МПа), а наименее жёстким – резина (Е=0,007·10³МПа). Эта характеристика материала является структурно нечувствительной, т.е. термическая обработка или другие способы изменения структуры материала практически не меняют модуль упругости.

При наличии касательных напряжений τ закон Гука имеет следующий вид:

, (3)

где γ – относительная деформация сдвига; G – модуль сдвига.

Модуль сдвига связан с модулем упругости следующим соотношением

, (4)

где μ – коэффициент Пуассона.

Коэффициент Пуассона для различных материалов находится в пределах 0,2 – 0,5. Для большинства реальных тел μ = 0,3, а для тел, объём которых не изменяется при деформации, μ = 0,5.

При непрерывном увеличении внешней нагрузки непрерывно растут напряжение σ и деформация ε (рис.2.). При некотором напряжении σ_s, характерном для каждого материала, наблюдается или разрушение образца, или нарушение прямой пропорциональности между σ и ε и возникновение остаточной (пластической) деформации ε_ост, не исчезающей после снятия внешней нагрузки. В первом случае материал является хрупким, во втором — пластичным. Напряжение σ_s, при котором начинается заметное течение тела, называется пределом текучести; области OA и AB – соответственно областями упругой и пластической деформации (в области ОА выполняется закон Гука).

Рис.2. Диаграмма напряжение – деформация для твёрдого тела

В хрупких материалах предел упругости совпадает с пределом прочности, поэтому они разрушаются без видимой пластической деформа­ции. В пластичных же металлах предел упругости и текучести, как правило, значительно меньше предела прочности. Поэтому разрушение таких материалов происходит после значительной пластической деформации.

Атомы твёрдых тел совершают тепловые колебания около положения равновесия. Вследствие их сильного взаимодействия между собой, колебание, возникающее у одной частицы, немедленно передаётся соседним, и в веществе возбуждается коллективное движение в форме упругой волны, охватывающей все частицы твёрдого тела. Такое коллективное движение называется нормальным колебанием структуры. Если соседние атомы колеблются в одной фазе, то такие колебания называются акустическими, если в противофазе – оптическими. Акустические колебания бывают двух видов: продольные и сдвиговые.

Одним из наиболее простых и надежных способов определения модулей упругости твёрдых тел является их расчет из экспериментальных данных по изме­рению скорости звука..

Упругие волны в твёрдых телах затухают; на­блюдается отчетливо выраженная частотная зависимость (дисперсия) скорости звука. Выражение для смещения частиц в случае волны растяжения, распространяющейся в направлении оси х, можно представить в виде

(5)

где u₀ – амплитуда смещения; t – время; k – комплексное волновое число

(6)

[α – коэффициент поглощения; с – скорость упругой волны ( где λ – длина волны)].

В твердых телах могут распространяться несколько типов волн.

В неограниченной среде, т. е. в случае, когда длина волны λ меньше поперечных размеров тела d(λ << d), скорость чисто продольной волны при условии, что затухание достаточно мало, выражается формулой

, (7)

где – динамический модуль всестороннего сжатия;
– динамический модуль сдвига.

Выражение для скорости продольной волны в неограниченной среде может быть записано и в другой форме:

, (8)

где – динамический модуль Юнга; ρ – плотность среды, в которой распространяется волна; – динамический коэффициент Пуассона.

В том случае, когда волны распространяются в тонких стержнях (волокна, узкие полоски из пленки), т. е. если λ >> d (где d – поперечный размер тела)

. (9)

Скорость сдвиговых волн, в которых колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, может быть представлена в виде

, (10)

где – динамический модуль сдвига.

В этом случае модули упругости и коэффициент Пуассона определяются по формулам:

, (11)

, (12)

. (13)

Следует заметить, что формулы (11) и (12) являются приближенными и справедливы лишь в том случае, когда , т. е. когда затухание, приходящееся на одну длину волны, мало. В общем случае связь между скоростью распространения с, поглощением звуковых волн и модулями упругости определяется следующими формулами:

, (14)

. (15)

Из выражений (5) и (6) следует, что амплитуда колебаний частиц в распространяющейся волне уменьшается с расстоянием по экспоненциальному закону:

. (16)

Если в плоской звуковой волне известны значения и₁ и u₂ в точках с координатами х₁ и x₂, то коэффициент затухания равен

. (17)

Коэффициент затухания имеет размерность см^-1, иногда его выражают в непер/см. Так как 1 непер представляет собой отношение двух величин, имеющих одну и ту же размерность и отличающихся в е = 2,71 раза; то 1/α показывает длину акустического пути, на котором амплитуда затухает в e раз. Иногда коэффициент затухания измеряют в децибелах на см (дб/см), 1 непер/см = 8,686 дб/см.

Скорость распространения объемных акустических волн в твердом теле на много порядков меньше скорости распространения электромагнитных волн (например, для стали ). Это позволяет использовать акустические колебания, возникающие в твердых телах, в различных радиоэлектронных устройствах, прежде всего - в акустических линиях задержки и пьезофильтрах на поверхностных и объемных акустических волнах.