Найти координаты точки пересечения плоскости, проходящей через точки

Для решения задачи найдем точку пересечения плоскости $ABC$ с прямой $DE$.

Шаг 1: Найти уравнение плоскости $ABC$

1. Определим векторы на плоскости $ABC$:

   $$\vec{AB} = B - A = (3 - (-2), 0 - 3, 1 - 3) = (5, -3, -2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-3 - (-2), 4 - 3, 4 - 3) = (-1, 1, 1)$$

2. Найдем векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$ для получения нормального вектора $\vec{n}$ плоскости:

   $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -3 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

   Раскроем определитель:

   $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatri$$

   Вычислим:

   • $\mathbf{i}$: $(-3)(1) - (-2)(1) = -3 + 2 = -1$
   • $\mathbf{j}$: $(5)(1)-(-2)(-1)=5-2=3$
   • $\mathbf{k}$: $(5)(1)-(-3)(-1)=5-3=2$

   Следовательно:

   $$\vec{n} = (-1, -3, 2)$$

3. Уравнение плоскости имеет вид:

   $$n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0$$

   где $(x_0, y_0, z_0)$ – точка на плоскости (возьмем $A = (-2, 3, 3)$, а $(n_1, n_2, n_3) = (-1, -3, 2)$.

   Подставим:

   $$-1(x + 2) - 3(y - 3) + 2(z - 3) = 0$$

   Раскроем скобки:

   $$-x - 2 - 3y + 9 + 2z - 6 = 0$$

   Упрощаем:

   $$-x - 3y + 2z + 1 = 0$$

   или:

   $$x + 3y - 2z = 1$$

Шаг 2: Найти параметрическое уравнение прямой $DE$

1. Зададим прямую $DE$ параметрически: Прямая через точки $D = (-4, 4, 4)$ и $E = (-40, 28, 24)$ задается уравнением: $$\vec{r} = \vec{D} + t \cdot \vec{DE}$$ Найдем $\vec{DE} = E - D$: $$\vec{DE} = (-40 - (-4), 28 - 4, 24 - 4) = (-36, 24, 20)$$ Тогда параметрическое уравнение прямой: $$x = -4 - 36t, \quad y = 4 + 24t, \quad z = 4 + 20t$$

Шаг 3: Найти точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$

Подставим параметрические уравнения $x = -4 - 36t$, $y = 4 + 24t$, $z = 4 + 20t$ в уравнение плоскости $x + 3y - 2z = 1$:

Раскроем скобки:

Соберем подобные слагаемые:

Решаем относительно $t$:

Шаг 4: Найти координаты точки пересечения

Подставим $t = -\frac{1}{4}$ в параметрические уравнения прямой:

1. $x = -4 - 36t$: $$x = -4 - 36\left(-\frac{1}{4}\right) = -4 + 9 = 5$$
2. $y = 4 + 24t$: $$y = 4 + 24\left(-\frac{1}{4}\right) = 4 - 6 = -2$$
3. $z = 4 + 20t$: $$z = 4 + 20\left(-\frac{1}{4}\right) = 4 - 5 = -1$$

Ответ:

Координаты точки пересечения плоскости $ABC$ с прямой $DE$: