Группа G

Определение. Пусть - группа. Положим . Группа называется разрешимой, если .

Примеры:
1) абелевые группы разрешимы, т.е. .
2) , т.к. , следовательно, - абелевая группа. Следовательно, и разрешима.
3) При мы знаем, что . Следовательно, для любого , и группа неразрешима.

Предложение. Пусть - гомоморфизм групп. Тогда и, если - сюръективно, то .
Доказательство. (по индукции по )
База индукции. , оба утверждения верны.
1) Пусть для утверждение верно, докажем его для . . Если , то , где , тогда , т.к. по предположению индукции .
2) Аналогично, пусть для утверждение верно, докажем его для . Нам надо доказать, что для любого элемента найдется , такой что . Имеем, что , где , по предположению индукции , где . Но тогда , следовательно, .

Предложение. .
Доказательство. (по индукции по )
База индукции. , утверждение верно.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Возьмем произвольный , тогда , где . Пусть , тогда , т.к. по предположению индукции . Следовательно, .

Упражнение. Пусть - подгруппа в . Если - разрешима, то тоже разрешима.

Предложение. Если , то следующие два утверждения эквивалентны:
1) разрешима;
2) и разрешимы.
Доказательство.
.
В силу предыдущего упражнения будет разрешима. Рассмотрим естественный гомоморфизм , . Этот гомоморфизм всегда сюръективен, следовательно имеем, что . Т.к. - разрешима, то , такое что , следовательно , следовательно разрешима.
.
Пусть и . Тогда , следовательно, . Следовательно, , т.е. разрешима.

                Теорема. Пусть - группа. Следующие утверждения эквивалентны:
                1) - разрешима;
                2) существует ряд нормальных подгрупп , такой, что - абелева.
Доказательство.
                .
Положим , тогда и - абелева, т.к. фактор группа по коммутанту всегда абелева.
(по индукции по ).
База индукции, . Тогда и - абелева, следовательно, разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . В группе есть ряд длины , следовательно, по предположению индукции разрешима. Более того, и - абелева (разрешима), следовательно и - разрешима.

Теорема. Конечная -группа разрешима.
Доказательство. (индукция по порядку группы).
База индукции, , следовательно - абелева и разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Рассмотрим центр , мы знаем, что , - абелева (разрешима) и , т.е. (разрешима по предположению индукции), следовательно и разрешима.

Рассмотрим множество - множество верхнетреугольных матриц размера с ненулевыми числами поля на диагонали. Рассмотрим еще множество - подмножество в с единицами на диагонали.

Упражнение. Докажите, что - группа по умножению матриц, а подгруппа в ней.

Предложение. и .
Доказательство.
Рассмотрим отображение , отображение в - множество наборов из ненулевых чисел поля . Это отображение действует по правилу . Введем операцию умножения в множестве : . Теперь - это абелевая группа и - гомоморфизм групп, причем , следовательно . Следовательно - это абелевая группа, изоморфная , т.е. - абелева. Рассмотрим естественный гомоморфизм , тогда . Следовательно, .

Теорема. Группа всегда разрешима.
Доказательство.
Для доказательства теоремы, нам достаточно доказать разрешимость группы и воспользоваться предыдущим предложением. Докажем это по индукции по .
База индукции, . - разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Рассмотрим отображение , определенное по следующему правилу: пусть , тогда . Если , то .