Студопедия
Обратная связь

Сколько стоит твоя работа?
Тип работы:*
Тема:*
Телефон:
Электронная почта:*
Телефон и почта ТОЛЬКО для обратной связи и нигде не сохраняется.

Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram 500-летие Реформации

Алгебра Вейля

 Рассмотрим  и рассмотрим операторы  и .

                Предложение. , , .
Доказательство.
                Первые два соотношения очевидны, докажем третье:
.

Определение. Алгеброй Вейля  называется подалгебра с единицей в алгебре всех линейных операторов на , порожденная операторами .

Каждый элемент  из  можно представить в как  или как .

                Предложение. Пусть  представлено в виде , тогда
1)
2)
Доказательство.
                В любой алгебре  положим , тогда , т.е. эта операция имеет такие же свойства как и дифференцирование, будем этим пользоваться. Посчитаем  - дифференцирование многочлена  по переменной :

.
Аналогично доказывает и второй пункт.
Лекция 13 (26.11.2001)

Вернемся к рассмотрению алгебры Вейля. Напомним, что мы рассматривали пространство  и линейные операторы , , которые обладали свойством  и , где . Алгебра Вейля – это , если , то , то  и .

Теорема.  проста.
Доказательство.
Пусть , . Пусть , , тогда .
Если , то , т.е. степень  уменьшилась. Продолжая эту операцию и дальше, мы вообще избавимся от . Далее таким же образом мы можем избавиться от всех , и, рассматривая , мы можем избавиться от всех . В итоге получим, что некая константа (не нулевая) принадлежит нашему идеалу. Следовательно, т.к. константа обратима, наш идеал совпадает со всей алгеброй. Т.е. алгебра проста.

Предложение. Многочлены  линейно независимы в  при разных .
Доказательство.
                Действительно, если , то будем действовать аналогично доказательству предыдущей теоремы, т.е.  и т.д. В итоге мы получим, что ненулевая константа должна равняться нулю, что невозможно.

                Следствие. Алгебра Вейля бесконечномерна.

                Рассмотрим поле . Над  мы знаем следующие тела:
1)  над ;
2) над ;
3) над  - поле кватернионов.
Сейчас мы докажем, что других тел нет (т.е. все тела изоморфны какому-то из этих).

                Лемма. Центр  равен , т.е. все матрицы с одинаковыми вещественными числами по диагонали.
Доказательство.
                Пусть  - элемент центра. Тогда  для любых  и . Т.е. получаем систему   на элементы . Решая ее, получаем утверждение леммы.

                Определение. Пусть  - ассоциативная алгебра с единицей над полем . Элемент  называется алгебраическим, если существует многочлен  такой, что . Минимальным многочленом алгебраического элемента  называется многочлен наименьшей степени со страшим коэффициентом  такой, что .

Упражнение. Пусть  - алгебраический элемент из  и  - все такие , что . Докажите, что  и , где  - минимальный многочлен элемента .

                Теорема. Пусть , тогда .
Доказательство.
                Возьмем , , где , следовательно, . Следовательно, , где . Если , то . Следовательно, , т.е. . Если , то , что невозможно. Следовательно , следовательно, все  и элементы  независимы.

                Теорема.  является полем тогда и только тогда, когда многочлен  неприводим.
Доказательство.
                *. Пусть  приводим, т.е. , где . Тогда , и , т.е. есть делители нуля. Следовательно  не поле.
                *. Пусть  неприводим и  - ненулевой элемент. Тогда  не делит , т.е. . Следовательно . Тогда , т.е. каждый ненулевой элемент обратим. Следовательно  поле.

                Определение. Пусть  - алгебра и . Множество  называется подалгеброй, порожденной элементом .

                Предложение. Пусть  - область (ассоциативная алгебра с единицей и без делителей нуля) и . Тогда минимальный многочлен  для  неприводим и . В частности  является полем.
Доказательство.
                Пусть , где . Тогда  при , но в нет делителей нуля. Получили противоречие, следовательно, неприводим.
Рассмотрим , такой что . Тогда  и . По теореме о гомоморфизме получаем, что  - поле.

                Предложение. Пусть  - конечномерное тело над  и . Тогда .
Доказательство.
                Пусть  - минимальный многочлен из  для . Если , , то , следовательно , противоречие. Следовательно  - неприводимый над . Тогда . (пусть  - комплексный корень  Тогда зададим , т.ч.  и воспользуемся т. о гомоморфизме).

                Теорема. Пусть  - поле, являющееся конечномерной алгеброй над . Тогда  или .
Доказательство.
                Пусть , тогда (по предыдущему предложению) . Пусть  и  - минимальный многочлен для  над , тогда  неприводим. Следовательно , где  и , т.е. . Следовательно .

                Теорема (Фробениуса). Пусть  - конечномерное некоммутативное тело над , тогда .
Доказательство.
                Т.к.  некоммутативно, то . Пусть . Тогда , следовательно . является левым векторным пространством над . Рассмотрим оператор , это линейный оператор, т.к.  и . Т.е. нам задано комплексное представление группы , . Рассмотрим множества:
, тогда .
Если , то , т.е.  Т.к. в  нет делителей нуля, то , т.е. . Аналогично . Следовательно .

Лемма 1. .
Доказательство.
               Пусть , тогда , следовательно . Но  - подалгебра , являющееся конечномерным расширением . А мы уже знаем, что в этом случае .

               Лемма 2. Пусть , , где . Тогда .
               Доказательство.
.

Лемма 3. Пусть , тогда  и .
Доказательство.
По предыдущей лемме . Следовательно . Но с другой стороны  (т.к. в  нет делителей нуля). Следовательно все эти неравенства обращаются в равенства и . Аналогично доказываем, что .

                По лемме 1 имеем  и . Возьмем , тогда . Минимальный многочлен для  над  имеет степень 2. Следовательно , где . Более того:  (т.к. ) и  (т.к. ). Следовательно, . Т.е. получаем, что , причем .
Если , то , т.е. , что невозможно.
Следовательно, , где . Следовательно . Пусть , тогда  и . Пусть , тогда ,  и .
В итоге мы получили, что . Т.е. мы получили группу кватернионов  (правила умножения совпадают). 
Лекция 14 (3.12.2001)

Определение. Пусть  - область над полем  и . Элемент  называется алгебраическим, если , такой что . Многочлен , наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, такой что , называется минимальным аннулирующим многочленом для .

Если  - минимальный многочлен для , то .

Предложение. Если  ненулевой над , тогда  - поле. Элемент  является корнем  в поле .
Доказательство.
Пусть , . Тогда
.

                Следствие. Пусть  - произвольный. Тогда существует поле , в котором многочлен  имеем корень.
Здесь  называется расширением поля , записывается это как .

                Определение. Пусть  и . Поле  называется полем разложения для , если:
                1) над  многочлен  разлагается на линейные множители;
                2) никакое промежуточное поле  () этим свойством не обладает.

Теорема. Пусть  и . Тогда:
                1) поле разложения  существует;
                2) если  и  - поле разложения для , то  и  изоморфны как -алгебры.
Доказательство.

                1) Существование (доказательство по индукции).
                Если , то .
                Пусть теперь  и для всех меньших степеней существование поля разложения уже доказано. Разложим  на неприводимые многочлены ,  - неприводим.  снова поле, и в нем многочлен  имеет корень . Тогда в этом поле , где ,  и . По предположению индукции, существует  - поле разложения для . Следовательно  будет полем разложения для .
                2) Единственность (тоже по индукции).
Если , то поле разложения единственно и равно .
Если . Пусть . Пусть  и  - корни  в полях  и  соответственно. Тогда . Без ограничения общности можно считать, что  и . Тогда  и  - поля разложения многочлена   над . По предположению индукции поля  и  совпадают.

Вспомним из первого семестра, что, если  - поле, то  либо 0, либо простое число. Если характеристика равно нулю, то поле содержит в себе поле рациональных чисел. Если характеристика равна , то поле содержит в себе поле вычетов по модулю .

Теорема. Пусть  - конченое поле и , тогда .
Доказательство.
Т.к. , то  является векторным пространством над  размерности . Пусть  - базис в  над . Следовательно, , где . Следовательно .

Предложение. Пусть  - поле характеристики . Тогда ,  .
Доказательство.
Докажем сначала для степени . По биному Ньютона
.
Биноминальный коэффициент  равен . Причем , а , следовательно, . Т.е. в поле  этот коэффициент равен нулю. Следовательно .
В общем случае () имеем:
.

                Теорема. Если  - поле из  элементов и , то .
Доказательство.
                Пусть . Тогда . Но  - группа по умножению порядка , следовательно, , следовательно, .
Если , то утверждение очевидно.

                Теорема. Пусть , где  - просто, тогда существует (и оно единственно) поле  и  элементов.
Доказательство.
                Рассмотрим поле  и многочлен . Пусть  - поле разложения для . Пусть  и  - корни , тогда , т.е.  - тоже корень . По доказанному выше предложению , т.е.  - тоже корень . Аналогично проверяем, что  и  тоже будут корнями .
Если , то , следовательно, и . Все корни  образуют подполе. Следовательно  совпадает с множеством всех корней многочлена . У многочлена  нет кратных корней, т.к.  и  - взаимопросты. Следовательно . Единственность поля следует из единственности поля разложения для многочлена. .

                Теорема. Пусть  - поле и  - конечная подгруппа в . Тогда  - циклическая.
Доказательство.
                , где  - силовская  - подгруппа. Нам достаточно доказать, что каждая  циклическая. , где  - простое число. Пусть элемент  имеет максимальный порядок (). Тогда  или . Рассмотрим многочлен . Любой элемент  имеет порядок , где . Следовательно,  и . Т.е. все элементы  являются корнями многочлена . Но и всего , следовательно,  и порядок элемента совпадает с порядком всей группы. Следовательно, группа  циклическая, порожденная элементом . Следовательно и вся группа  циклическая.

                Следствие.  - циклическая группа.

                Следствие. Пусть  - поле и . Тогда существует многочлен  степени  такой, что .
Доказательство.
                , где  - минимальный аннулирующий многочлен.

Теорема. Группа автоморфизмов , где  является циклической группой порядка .
Доказательство.
Пусть  - автоморфизм , тогда , , , т.е. , если . Тогда , где  - минимальный аннулирующий многочлен для , . Пусть , тогда . Для  имеется не более  значений. Следовательно, существует не более  автоморфизмов .
Укажем автоморфизм порядка . , тогда  и . Тогда , т.е.  - тождественный автоморфизм. Если порядок  равен , то   и тогда в поле  будет всего  элементов. Следовательно, порядок  равен  и .





 

Читайте также:

Кольцо называется коммутативным, ассоциативным, антикоммутативным. Кольцо Ли в алгебре

Определение циклической подгруппы

Абелевая группа в алгебре

Группы алгебра

Евклидово пространство

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 4690

 
 

54.224.13.210 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.