Рассмотрим и рассмотрим операторы и .
Предложение. , , .
Доказательство.
Первые два соотношения очевидны, докажем третье:
.
Определение. Алгеброй Вейля называется подалгебра с единицей в алгебре всех линейных операторов на , порожденная операторами .
Каждый элемент из можно представить в как или как .
Предложение. Пусть представлено в виде , тогда
1)
2)
Доказательство.
В любой алгебре положим , тогда , т.е. эта операция имеет такие же свойства как и дифференцирование, будем этим пользоваться. Посчитаем - дифференцирование многочлена по переменной :
.
Аналогично доказывает и второй пункт.
Лекция 13 (26.11.2001)
Вернемся к рассмотрению алгебры Вейля. Напомним, что мы рассматривали пространство и линейные операторы , , которые обладали свойством и , где . Алгебра Вейля – это , если , то , то и .
Теорема. проста.
Доказательство.
Пусть , . Пусть , , тогда .
Если , то , т.е. степень уменьшилась. Продолжая эту операцию и дальше, мы вообще избавимся от . Далее таким же образом мы можем избавиться от всех , и, рассматривая , мы можем избавиться от всех . В итоге получим, что некая константа (не нулевая) принадлежит нашему идеалу. Следовательно, т.к. константа обратима, наш идеал совпадает со всей алгеброй. Т.е. алгебра проста.
Предложение. Многочлены линейно независимы в при разных .
Доказательство.
Действительно, если , то будем действовать аналогично доказательству предыдущей теоремы, т.е. и т.д. В итоге мы получим, что ненулевая константа должна равняться нулю, что невозможно.
Следствие. Алгебра Вейля бесконечномерна.
Рассмотрим поле . Над мы знаем следующие тела:
1) над ;
2) над ;
3) над - поле кватернионов.
Сейчас мы докажем, что других тел нет (т.е. все тела изоморфны какому-то из этих).
Лемма. Центр равен , т.е. все матрицы с одинаковыми вещественными числами по диагонали.
Доказательство.
Пусть - элемент центра. Тогда для любых и . Т.е. получаем систему на элементы . Решая ее, получаем утверждение леммы.
Определение. Пусть - ассоциативная алгебра с единицей над полем . Элемент называется алгебраическим, если существует многочлен такой, что . Минимальным многочленом алгебраического элемента называется многочлен наименьшей степени со страшим коэффициентом такой, что .
Упражнение. Пусть - алгебраический элемент из и - все такие , что . Докажите, что и , где - минимальный многочлен элемента .
Теорема. Пусть , тогда .
Доказательство.
Возьмем , , где , следовательно, . Следовательно, , где . Если , то . Следовательно, , т.е. . Если , то , что невозможно. Следовательно , следовательно, все и элементы независимы.
Теорема. является полем тогда и только тогда, когда многочлен неприводим.
Доказательство.
. Пусть приводим, т.е. , где . Тогда , и , т.е. есть делители нуля. Следовательно не поле.
. Пусть неприводим и - ненулевой элемент. Тогда не делит , т.е. . Следовательно . Тогда , т.е. каждый ненулевой элемент обратим. Следовательно поле.
Определение. Пусть - алгебра и . Множество называется подалгеброй, порожденной элементом .
Предложение. Пусть - область (ассоциативная алгебра с единицей и без делителей нуля) и . Тогда минимальный многочлен для неприводим и . В частности является полем.
Доказательство.
Пусть , где . Тогда при , но в нет делителей нуля. Получили противоречие, следовательно, неприводим.
Рассмотрим , такой что . Тогда и . По теореме о гомоморфизме получаем, что - поле.
Предложение. Пусть - конечномерное тело над и . Тогда .
Доказательство.
Пусть - минимальный многочлен из для . Если , , то , следовательно , противоречие. Следовательно - неприводимый над . Тогда . (пусть - комплексный корень Тогда зададим , т.ч. и воспользуемся т. о гомоморфизме).
Теорема. Пусть - поле, являющееся конечномерной алгеброй над . Тогда или .
Доказательство.
Пусть , тогда (по предыдущему предложению) . Пусть и - минимальный многочлен для над , тогда неприводим. Следовательно , где и , т.е. . Следовательно .
Теорема (Фробениуса). Пусть - конечномерное некоммутативное тело над , тогда .
Доказательство.
Т.к. некоммутативно, то . Пусть . Тогда , следовательно . является левым векторным пространством над . Рассмотрим оператор , это линейный оператор, т.к. и . Т.е. нам задано комплексное представление группы , . Рассмотрим множества:
, тогда .
Если , то , т.е. Т.к. в нет делителей нуля, то , т.е. . Аналогично . Следовательно .
Лемма 1. .
Доказательство.
Пусть , тогда , следовательно . Но - подалгебра , являющееся конечномерным расширением . А мы уже знаем, что в этом случае .
Лемма 2. Пусть , , где . Тогда .
Доказательство.
.
Лемма 3. Пусть , тогда и .
Доказательство.
По предыдущей лемме . Следовательно . Но с другой стороны (т.к. в нет делителей нуля). Следовательно все эти неравенства обращаются в равенства и . Аналогично доказываем, что .
По лемме 1 имеем и . Возьмем , тогда . Минимальный многочлен для над имеет степень 2. Следовательно , где . Более того: (т.к. ) и (т.к. ). Следовательно, . Т.е. получаем, что , причем .
Если , то , т.е. , что невозможно.
Следовательно, , где . Следовательно . Пусть , тогда и . Пусть , тогда , и .
В итоге мы получили, что . Т.е. мы получили группу кватернионов (правила умножения совпадают).
Лекция 14 (3.12.2001)
Определение. Пусть - область над полем и . Элемент называется алгебраическим, если , такой что . Многочлен , наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, такой что , называется минимальным аннулирующим многочленом для .
Если - минимальный многочлен для , то .
Предложение. Если ненулевой над , тогда - поле. Элемент является корнем в поле .
Доказательство.
Пусть , . Тогда
.
Следствие. Пусть - произвольный. Тогда существует поле , в котором многочлен имеем корень.
Здесь называется расширением поля , записывается это как .
Определение. Пусть и . Поле называется полем разложения для , если:
1) над многочлен разлагается на линейные множители;
2) никакое промежуточное поле () этим свойством не обладает.
Теорема. Пусть и . Тогда:
1) поле разложения существует;
2) если и - поле разложения для , то и изоморфны как -алгебры.
Доказательство.
1) Существование (доказательство по индукции).
Если , то .
Пусть теперь и для всех меньших степеней существование поля разложения уже доказано. Разложим на неприводимые многочлены , - неприводим. снова поле, и в нем многочлен имеет корень . Тогда в этом поле , где , и . По предположению индукции, существует - поле разложения для . Следовательно будет полем разложения для .
2) Единственность (тоже по индукции).
Если , то поле разложения единственно и равно .
Если . Пусть . Пусть и - корни в полях и соответственно. Тогда . Без ограничения общности можно считать, что и . Тогда и - поля разложения многочлена над . По предположению индукции поля и совпадают.
Вспомним из первого семестра, что, если - поле, то либо 0, либо простое число. Если характеристика равно нулю, то поле содержит в себе поле рациональных чисел. Если характеристика равна , то поле содержит в себе поле вычетов по модулю .
Теорема. Пусть - конченое поле и , тогда .
Доказательство.
Т.к. , то является векторным пространством над размерности . Пусть - базис в над . Следовательно, , где . Следовательно .
Предложение. Пусть - поле характеристики . Тогда , .
Доказательство.
Докажем сначала для степени . По биному Ньютона
.
Биноминальный коэффициент равен . Причем , а , следовательно, . Т.е. в поле этот коэффициент равен нулю. Следовательно .
В общем случае () имеем:
.
Теорема. Если - поле из элементов и , то .
Доказательство.
Пусть . Тогда . Но - группа по умножению порядка , следовательно, , следовательно, .
Если , то утверждение очевидно.
Теорема. Пусть , где - просто, тогда существует (и оно единственно) поле и элементов.
Доказательство.
Рассмотрим поле и многочлен . Пусть - поле разложения для . Пусть и - корни , тогда , т.е. - тоже корень . По доказанному выше предложению , т.е. - тоже корень . Аналогично проверяем, что и тоже будут корнями .
Если , то , следовательно, и . Все корни образуют подполе. Следовательно совпадает с множеством всех корней многочлена . У многочлена нет кратных корней, т.к. и - взаимопросты. Следовательно . Единственность поля следует из единственности поля разложения для многочлена. .
Теорема. Пусть - поле и - конечная подгруппа в . Тогда - циклическая.
Доказательство.
, где - силовская - подгруппа. Нам достаточно доказать, что каждая циклическая. , где - простое число. Пусть элемент имеет максимальный порядок (). Тогда или . Рассмотрим многочлен . Любой элемент имеет порядок , где . Следовательно, и . Т.е. все элементы являются корнями многочлена . Но и всего , следовательно, и порядок элемента совпадает с порядком всей группы. Следовательно, группа циклическая, порожденная элементом . Следовательно и вся группа циклическая.
Следствие. - циклическая группа.
Следствие. Пусть - поле и . Тогда существует многочлен степени такой, что .
Доказательство.
, где - минимальный аннулирующий многочлен.
Теорема. Группа автоморфизмов , где является циклической группой порядка .
Доказательство.
Пусть - автоморфизм , тогда , , , т.е. , если . Тогда , где - минимальный аннулирующий многочлен для , . Пусть , тогда . Для имеется не более значений. Следовательно, существует не более автоморфизмов .
Укажем автоморфизм порядка . , тогда и . Тогда , т.е. - тождественный автоморфизм. Если порядок равен , то и тогда в поле будет всего элементов. Следовательно, порядок равен и .
|