Физическая природа туннельного эффекта

Рассмотрим туннельный эффект, наблюдаемый в самых разных явлениях микромира, начиная от ядерных превращений и кончая химическими реакциями. Согласно законам классической механики движение частицы описывается путём задания её координат и скорости в каждой точке траектории. При действии на частицу массой консервативной силы, с которой связана потенциальная энергия частицы, закон сохранения энергии записывается в виде

(11.1)

Согласно (11.1) механическая энергия имеет постоянное значение в любой момент времени для любой точки траектории движения. Отсюда следует, что область возможного движения частицы определяется условием

(11.2)

Область, где потенциальная энергия превышает энергию частицы, является для неё запрещенной.

В квантовой механике основной характеристикой частицы является волновая функция , описывающая состояние частицы. Энергия Е частицы в стационарном состоянии определяется для всей области движения частицы

. (11.3)

Для точного измерения энергии требуется бесконечное время. Таким образом, ограничение (11.3) не может быть непосредственно перенесено в квантовую механику, где вероятность нахождения частицы связана с величиной , а условие (11.3) выполняется лишь в среднем: Е>U.

Квантовая физика – это не столько другие формулы, сколько другое мышление. В качестве примера рассмотрим прохождение частицы с массой и энергией через запрещенную условием (11.3) область – прямоугольный потенциальный барьер высотой и шириной (рис. 11.1).

Рис. 11.1 Прохождение частицы с массой и энергией через прямоугольный потенциальный барьер высотой и шириной .

Вне потенциального барьера величина равна нулю. Согласно законам квантовой механики волновая функция стационарного состояния частицы с энергией

(11.4)

находится путём решения уравнения Шредингера

(11.5)

при определённых граничных условиях, задаваемых для областей, где . Здесь рассматриваются только процесс упругого туннелирования частицы, когда Е=const.

Решение уравнения (11.5), удовлетворяющее условиям задачи, можно записать следующим образом:

Здесь - нормировочная постоянная, волновой функции, а неизвестные коэффициенты находятся с помощью четырёх граничных условий, выражающих непрерывность волновой функции и в точках и . Величины и называются амплитудными коэффициентами отражения и прохождения соответственно. Они определяют вероятность отражения частицы от потенциального барьера и вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, которые связаны между собой соотношением, выражающим закон сохранения частиц,

(11.6)

Решение соответствующей системы уравнений для величин даёт следующее выражение для вероятности туннельного эффекта – прохождения через туннельный барьер высотой

(11.7)

Таким образом, вероятность туннельного эффекта зависит от величины и быстро уменьшается с увеличением массы частицы, ширины барьера и разности энергий.

Микроскопический туннельный эффект для электрона возможен, если ширина , а величина не превышает несколько эВ. В случае тяжёлых частиц (протоны, нейтроны, - частицы) туннельный эффект наблюдается, если ширина (размер атомного ядра).