Кодирование и обработка в компьютере вещественных чисел

Вернемся к обсуждению того обстоятельства, что в компьютере для записи числа в любой форме представления отводится конечное число разрядов. Для целых чисел это обстоятельство привело к появлению понятий наибольшего целого числа. Однако для каждого целого числа, не превышающего по модулю наибольшего, имеется ровно одно представление в машинном коде и, если не происходит переполнения, результат выполнения операции над целыми числами будет точным, поскольку дискретные множества исходных чисел однозначно отображаются на дискретное множество результатов.

Ситуация радикальным образом меняется при представлении и обработке вещественных чисел. На математической числовой оси вещественные числа образуют непрерывное множество (континуум), т.е. два числа могут находиться сколь угодно близко друг к другу, и на любом отрезке содержится бесконечно много значений чисел. В машинном представлении количество возможных значений чисел конечно; для двоичной системы счисления оно определяется как 2^k, где k - количество двоичных разрядов в представлении мантиссы. Т.е. вещественные числа в компьютере заменяются их кодами, которые образуют конечное дискретное множество; каждый код оказывается представителем целого интервала значений континуума.

Из данного обстоятельства вытекают ряд следствий:

Следствие 1 состоит в том, что строгие отношения между числами континуума превращаются в нестрогие для их компьютерных представителей, т.е.

Следствие 2. Поскольку код вещественного числа в компьютере является приблизительным представителем многих чисел из интервала, то и результаты вычислений также будут заведомо неточными, содержащими неизбежную погрешность. В этом состоит главная особенность обработки вещественных чисел в компьютере - она всегда ведется с погрешностью (кстати, оценка этой погрешности - самостоятельная и непростая задача).

Следствие 3. Наряду с понятием наибольшего вещественного числа (из-за ограниченности разрядной сетки) появляется понятие наименьшего числа или машинного нуля. Например, в типе Real языка PASCAL любое десятичное число, по модулю меньшее 2,3∙10^-39 оказывается машинным нулем, т.е. считается равным 0 при сохранении и в операциях с ним. Таким образом, математическое понятие «0» как точное значение числа в компьютерном представлении заменяется понятием «машинный нуль» как значение числа меньшее некоторой определенной величины.

Как уже было сказано, основной формой представления кодов вещественных чисел в компьютере является двоичная нормализованная. При этом записываться и храниться в памяти компьютера должны все составляющие нормализованной формы (знак числа, мантисса, знак порядка и порядок), что требует нескольких ячеек памяти. Например, числа типа Real («вещественный») из языка PASCAL размещаются в 6 байтах, т.е. 48 двоичных разрядах. Непосредственное распределение компонентов нормализованного числа по разрядам определяется конструктивными особенностями компьютера и программным обеспечением. Ниже приведен пример размещения числа в двух ячейках памяти (32 разряда):

Поскольку значение мантиссы лежит в интервале 0,1₂ ≤ М₂ < 1, ноль в разряде целых и разделитель десятичных разрядов в представление не включается, т.е. мантисса содержит только цифры дробной части. Более того, можно не сохранять и первую значащую цифру мантиссы, поскольку она всегда 1 (но, естественно, восстанавливать ее при вычислениях) - это дает возможность хранить дополнительный «скрытый» разряд, т.е. несколько повысить точность обработки. В ходе выполнения арифметических операций, как указывалось ранее, производится нормализация промежуточных и конечного значений, состоящая в сдвиге мантиссы вправо или влево с одновременным изменением порядка, что эквивалентно смещению разделителя десятичных разрядов - именно по этой причине такая форма представления числа получила название «с плавающей запятой». Как и в случае целых чисел, для кодов вещественных чисел существует понятие переполнение, однако возникает оно не после заполнения разрядной сетки мантиссы - это приводит лишь к нормализации числа, а при заполнении всех разрядов порядка. Для представленного выше примера размещения числа в 32-х битах, очевидно,