Решение уравнения методом Крамера Капелли | Теорема Крамера

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A не равно 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

            Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

, где
= detA,  а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца iстолбцом свободных членов b_i.
i =

            Пример.

A = ;   1= ;  2= ;   3= ;

x1 = 1/detA;       x2 = 2/detA;        x3 = 3/detA;

            Пример.   Найти решение системы уравнений:

=  = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

1 =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 = D1/D = 1;
2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 = D2/D = 2;
3 =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
x3 = D3/D = 3.

            Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

            Если система однородна, т.е. bi = 0, то при система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

При = 0 система имеет бесконечное множество решений.

            Для самостоятельного решения:

;             Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Высшая алгебра математика

Теорема о базисном миноре

Алгебраическое дополнение матрицы

Дифференциальные уравнения

Теорема Кронекера Капелли. Доказательство, примеры

Вернуться в оглавление: Высшая математика