Матричный метод решения систем линейных уравнений

            Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.

            Пусть дана система уравнений: 

Составим матрицы:   A = ;             B = ;           X = .

Систему уравнений можно записать:
A*X = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1*A*X = A^-1*B,

т.к.   А^-1*А = Е, то  Е*Х = А^-1*В
Х = А^-1*В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

            Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А^-1.
D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ =  = -5;                  M₁₂ =  = 1;                   M₁₃ =    = -1;
M₂₁ =                M₂₂ =                     M₂₃ =
M₃₁ =                  M₃₂ =                     M₃₃ =

                     A^-1 = ;

Cделаем проверку:
A*A^-1 = =E.

Находим матрицу Х.
Х = = А^-1В = * = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Решение методом Гаусса | Система уравнений методом Гаусса

Решение уравнения методом Крамера Капелли | Теорема Крамера

Теорема Кронекера Капелли. Доказательство, примеры

Элементарные преобразования матриц

Элементы векторной алгебры

Вернуться в оглавление: Высшая математика