Закон Джоуля – Ленца в интегральной и дифференциальной формах

При прохождении по проводнику тока проводник нагревается. Джоуль и независимо от него Ленц обнаружили экспериментально, что количество выделяющегося в проводнике тепла пропорционально его сопротивлению, квадрату силы тока и времени:

Q = RI²t. (20.15)

Если сила тока изменяется со временем, то

. (20.16)

Соотношения (20.15) и (20.16) выражают закон Джоуля – Ленца в интегральной форме. Подставляя R в Омах, i в амперах, а t в секундах, Q получим в джоулях.

При выводе закона Джоуля – Ленца в дифференциальной форме необходимо ввести некоторые специфические понятия и величины. Количество тепла dQ, отнесенное к единице времени и единице объема, назовем удельной мощностью тока w или плотностью тепловой мощности.

То-есть

(20.17)

Используя выражение (20.15) Q = RI²t и определение сопротивления получим

Вспомним, что а j = g×E по закону Ома в дифференциальной форме.

Тогда

w = g×E² . (20.18)

Уравнение (20.18) отражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Чтобы, исходя из него, получить количество тепла, выделяющееся во всем проводнике за время t, нужно проинтегрировать w по объему проводника в некоторый момент времени t, а затем полученное выражение проинтегрировать по времени t: