Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированными Кирхгофом. Этих правил два. Первое из них относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится более чем два проводника (рис.20.3). Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (плюс или минус, для определенности будем считать приходящий ток положительным), текущий от узла - имеющим другой знак (минус). Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

åI_k = 0. (20.19)

Справедливость этого утверждения вытекает из следующих соображений. Если бы алгебраическая сумма токов была отлична от нуля, в узле происходило бы накапливание или уменьшение заряда, что в свою очередь приводило бы к изменению потенциала узла и изменению текущих в цепи токов. Таким образом, чтобы токи в цепи были постоянными, должно выполняться условие (20.19).

I₂ Рис.20.3. К первому правилу Кирхгофа

I₃

I₁

Уравнение (20.19) можно написать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми являются только N -1 уравнение, N-e будет следствием из них.

Выделим мысленно в разветвленной цепи произвольный замкнутый контур (см. контур 1—2—3—4—1 на рис. 20.4).

Рис.20.4. К выводу второго правила Кирхгофа.

Зададимся направлением обхода (например, по часовой стрелке, как указано на рисунке) и применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома:

Обратите внимание на знаки, с которыми записаны значения ЭДС!

При сложении этих выражений потенциалы сокращаются, и получается уравнение,

åI_kR_k = å Е _k, (20.20)

которое выражает второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжения на участках контура равно алгебраической сумме ЭДС, встреченных при обходе контура.

Уравнение (20.20) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мысленно в данной разветвленной цепи. Но независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.

Так, например, для цепи, изображенной на рис. 20.5 можно составить три уравнения:

1) для контура 1 — 2—3—6—1,

2) для контура 3—4—5—6—3,

3) для контура 1—2—3—4—5—6—1.

Последний контур получается наложением первых двух. Следовательно, указанные уравнения не будут независимыми. В качестве независимых можно взять любые два уравнения из этих трех.

Рис.20.5. Пример схемы для расчета

При составлении уравнений второго правила Кирхгофа токам и ЭДС нужно приписывать знаки в соответствии с произвольно выбранным направлением обхода. Например, ток I₁ на рис. 20.5 нужно считать отрицательным, так как он течет навстречу выбранному направлению обхода. ЭДС Е₁ также нужно приписать знак «—», так как она действует в направлении, противоположном направлению обхода. Положительной считается ЭДС, у которой с направлением обхода совпадает направление её стороннего поля – от «минуса» к «плюсу» (рис.20.6).

Рис.20.6. Определение знака ЭДС.

Е_ст

Направления обхода в каждом из контуров можно выбирать совершенно произвольно и независимо от выбора направлений в других контурах. При этом может случиться, что один и тот же ток либо одна и та же ЭДС войдет в разные уравнения с различными зна­ками (так получается с током I₂ и Е ₂ на рис. 20.5 при указанных направлениях обхода в контурах). Это, однако, не имеет никакого значения, потому что изменение направления обхода вызывает лишь изменение всех знаков в уравнении (20.20) на обратные.

Составляя уравнения, следует помнить, что через любое сечение неразветвленного участка цепи течет один и тот же ток (ток сохраняется неизменным от узла до узла неразветвляющейся цепи). Например, на участке 6 – Е ₂ течет такой же ток I₂, как на участке Е ₂ – 3.

Число независимых уравнений, составленных в соответствии с первым и вторым правилами Кирхгофа, оказывается равным числу различных токов, текущих в разветвленной цепи. Поэтому, если заданы ЭДС и сопротивления для всех неразветвленных участков, то могут быть вычислены все токи. Можно решить и задачи иного рода, например, найти ЭДС, которые нужно включить в каждый из участков цепи, чтобы получить при заданных сопротивлениях нужные токи.

В заключение разберем пример на расчет разветвленной цепи, изображенной на рис. 20.5. Даны R₁, R₂, Е ₁ и Е ₃. Нужно найти Е ₂, при которой I₂ = 1A, и получающиеся при этом токи I₁ и I₃.

Цепь имеет два узла (точки 3 и 6). При указанных стрелками направлениях токов уравнения (20.19) для этих узлов имеют вид

-I₁ + I₂ – I₃ = 0 для узла 3, (20.21)

I₁ - I₂ + I₃ = 0 для узла 6.

Эти уравнения не независимы—любое из них можнополучить из другого заменой знаков на противоположные. Используемв дальнейшем первое из них.

Теперь составим уравнения (20.20) для контуров 1—2—3 — 6—1 и 3 — 4—5—6—3, приняв в обоих случаях направление обхода по часовой стрелке:

(20.22)

Подставим в уравнения (20.21) и (20.22) заданные величины и перепишем их следующим образом (собираем неизвестные I₁, I₃ и Е ₂ с одной стороны системы):

Из уравнения 1 (20.21)

-1×I₁ + 1 - 1×I₃ + 0× E ₂ = 0

-2×I₁ – 4 = - 8 - E ₂

4×I₃ + 4 = 5 + E ₂

Cовершенно не обязательно добиваться решения в общем виде, физическая часть задачи закончилась получением уравнений (20.21) и (20.22).

Мы пришли к системе из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая систему, получаем

Таким же способом можно найти, что I₁ = 1,2 A, I₃ = - 0,2 A. Решение можно выполнить и гауссовским методом подстановок.

Для Е ₂ мы получили отрицательное значение.Этоозначает, что направление Е ₂ должно быть взято противоположным изображенному на рис.20.5, которое принималось при расчете. Ток I₃ также течет не в направлении 3—4, как указано на рисунке, а в противоположном направлении, но решение полученной системы уравнений нужно вести с теми знаками, которые получаются. Изменение знака требует изменения рисунка или произвольно выбираемых направлений токов и обхода контуров.