Вывод рабочей формулы

Падение напряжения во внешней цепи из уравнения (5) равно:

U =e - I r. (10)

С учётом (8)полезную мощность P _п можно представить в виде:

P _п = IU = I(e- Ir) = - I ²r + Ie. (11)

Из уравнения (11) видно, что полезная мощность есть функция второй степени от тока P _п = ¦ (I) и графически имеет вид параболы со смещённой от начала координат вершиной (рис. 2)

Из уравнения (11) следует, что P _пдважды обращается в нуль: при I = 0 (режим холостого хода) и при e - I r = 0, т.е. при силе тока I = e / r (режим короткого замыкания).

Взяв производную от P _п по I из уравнения (11) и приравняв её к нулю, найдём значение силы тока I, при котором полезная мощность P _п имеет максимальное значение:

= - 2 I r + e = 0, откуда I = .

Так как падение напряжения во внешней цепи равно U = e - Ir, то при I = получим: .

Тогда по формуле (8) получим при I = максимальное значение полезной мощности P _п:

P _п_max = IU = = (12)

По закону Ома для полной цепи . Сравнивая это выражение с I = , получим, что P _п = P _п _max, когда внешнее сопротивление цепи R равно внутреннему сопротивлению источника, т.е. при R = r. Из выражения P = I e видим, что зависимость P = ¦ (I) является линейной (рис.2)

Из выражения видно, что зависимость h = ¦ (I) является линейной (рис.2). Очевидно, что с увеличением силы тока h уменьшается от своего максимального значения h = 1 (при I = 0) до минимального h = 0 (при I = ). При I = , что соответствует максимальному значению полезной мощности, к.п.д. становится равным:

Так как U = IR, то выражение (8) для полезной мощности можно записать в виде:

P _п = I ²R. (13)

Подставляя значение , получим:

(14)

Здесь величины e и r - постоянные, следовательно, полезная мощность P _пявляется функцией внешнего сопротивления P _п = ¦ (R) (рис.3).

Из уравнения (14) видно, что при R = 0 (короткое замыкание) и при

R = ¥ (холостой ход) P п = 0. Взяв производную от P _п по R из уравнения (14) и приравняв ее к нулю, найдем значение внешнего сопротивления R, при котором P _п будет иметь максимальное значение.

Знаменатель здесь не равен бесконечности, значит числитель должен быть равен нулю, т.е.

e ²(R + r) ² - e ²2 R (R + r) = e ²(R + r) (R + r – 2R) = 0.

Это равенство выполняется при R = r. Таким образом, P _п = P _п _max, когда R = r. При этом из уравнения (14) имеем P _п _max = .

Выражение (7)для полной мощности можно представить в виде:

(15)

Из уравнения (15) видно, что полная мощность Р принимает максимальное значение при R = 0 (короткое замыкание), тогда P _max = . При R ® ¥ полная мощность асимптотически стремится к нулю (рис.3).