2015-05-26
5509
Емкость С – это такой параметр, который характеризует способность устройства накапливать электрические заряды q, если к этому устройству приложено напряжение u.
Емкостной элемент – это идеальный конденсатор, представляющий собой две проводящие пластины площадью S, разделенные слоем диэлектрика толщиной d. Идеальным считается конденсатор, у которого проводимость слоя диэлектрика равна нулю (отсутствует ток утечки) и диэлектрическая проницаемость ε является постоянной величиной. Из школьного курса физики известна формула величины емкости идеального плоского конденсатора 
.
Можно более строго определить емкость С как коэффициент пропорциональности между зарядом q и напряжением u, создавшим этот заряд:
|
На электрических схемах емкостной элемент изображается двумя параллельными отрезками прямой одинаковой длины (рис. 19).
Если конденсатор подключить к источнику постоянного тока, то произойдет процесс его заряда, в результате чего на проводящих пластинах появится напряжение U источника, а ток зарядки прекратится, поскольку слой изоляции между пластинами постоянный ток не пропустит.
|
|
|
Иначе ведет себя конденсатор, когда он включен в цепь переменного тока, так как полярность напряжения на его пластинах меняется с двойной частотой питающей сети (при частоте ƒ = 50 Гц – сто раз в секунду). То есть происходит перезаряд пластин, и по проводам питающей линии протекает переменный ток, обусловленный направленным движением электронов в металлических проводниках.
Что касается слоя диэлектрика, то в нем протекает ток электрического смещения, связанный с направленной ориентацией зарядов внутри молекул диэлектрика (диполей).
Рассмотрим цепь синусоидального тока с идеальным емкостным элементом (рис. 19).
Предположим, что напряжение на входных зажимах цепи не содержит начальной фазы (ψU = 0),
|
Сделаем подстановку (31) в правую часть равенства (30)
|
Как известно, электрический ток (направленное движение зарядов) в общем случае может быть представлен математически как скорость (производная) изменения заряда во времени 
. С учетом зависимости (32) получим
|
Сравнивая равенства (31) и (33), можно убедиться, что в цепи с емкостным элементом ток опережает напряжение на четверть периода (π/ 2, 90°).
В правой части равенства (33) введем обозначение Im амплитуды тока
|
где 
– емкостное сопротивление. Само равенство 
представляет закон Ома для амплитудных значений тока и напряжения. Разделив обе части этого равенства на 
, получим закон Ома для действующих значений:
|
Мгновенная мощность цепи с емкостью С:
|
|
|
|
Средняя за период (активная) мощность Р:
|
Таким образом, как и в цепи с идеальным индуктивным элементом, в цепи с конденсатором отсутствует необратимый процесс преобразования электрической энергии, а имеет место обмен энергией между конденсатором и питающей сетью.
На рисунке 20а приведена векторная диаграмма амплитудных значений тока Im и напряжения Um для момента времени t = 0 с разверткой в графики соответствующих синусоид (рис. 20б), а также с построением графической зависимости мгновенной мощности p= UIsin 2 ωt.
Рассмотрим подробнее обратимый процесс преобразования энергии в рассматриваемой цепи. В первую четверть периода Т/ 4(рис. 20б) мгновенная мощность положительна, то есть электрическая энергия поступает из сети, и происходит процесс зарядки конденсатора: напряжение на обкладках конденсатора возрастает от 0 до положительной амплитуды + Um, электрическая энергия превращается в энергию электрического поля [1].
|
Во вторую четверть периода мгновенная мощность отрицательна (p < 0), и происходит разряд конденсатора: ток меняет полярность, напряжение снижается до нуля, энергия электрического поля (38) превращается в электрическую и возвращается обратно в питающую сеть. Далее происходит аналогичный процесс со сменой полярности пластин конденсатора на противоположную и т.д
Рис. 20
Таким образом, в цепи с емкостным элементом:
1. Ток опережает напряжения на четверть периода (π /2).
2. Закон Ома справедлив только для амплитудных и действующих значений напряжения и тока. При этом вводится понятие о емкостном сопротивлении .
3. Мгновенная мощность пульсирует с двойной частотой относительно среднего значения P = 0. Это означает, что процесс преобразования энергии в рассматриваемой цепи имеет обратимый характер, то есть происходит обмен энергией между конденсатором и питающей сетью.
1.8. Цепь с последовательным соединением r, L и C
На рисунке 21 показана однофазная электрическая цепь с последовательным включением резистивного r, индуктивного L и емкостного C элементов. Цепь замкнута на источник Е бесконечной мощности [2], то есть выполняется условие 
(U – действующее значение синусоидального напряжения на входе цепи).
Рис. 21
Запишем в векторной форме второй закон Кирхгофа для действующих значений напряжений применительно к рассматриваемой цепи (рис. 21):
|
Равенство (39) как второй закон Кирхгофа читается следующим образом.
В замкнутом электрическом контуре геометрическая сумма векторов действующих значений э.д.с. (в данном случае это только напряжение 
) равна геометрической сумме векторов действующих значений падений напряжения на элементах, образующих этот контур (здесь эта сумма 
).
Поскольку в последовательной цепи (рис. 21) ток I во всех трех элементах r, L и C один и тот же, то в соответствии с законом Ома для участка цепи можно записать выражения для модулей слагаемых векторов: Ua = Ir, UL = IxL, UC = IxC. В предыдущих разделах (1.5, 1.6, 1.7) были установлены углы сдвига по фазе между вектором тока I и соответствующими падениями напряжения φa = 0, φL = + π /2, φC = – π /2, что позволяет соответствующим образом сориентировать векторы 
и 
относительно общего вектора тока 
и найти суммарный вектор 
на входе цепи (рис. 21).
Рассмотрим порядок построения векторной диаграммы последовательной цепи (рис. 21) в соответствии с равенством (39).
Ранее (рис. 14, 17 и 20) векторные диаграммы строились для амплитудных значений синусоид тока (или напряжения) применительно к моменту времени t = 0, когда исходная синусоида имела нулевую начальную фазу (ψI = 0 или ψU = 0), что позволяло эту синусоиду представлять вектором амплитудного значения в виде горизонтального вектора со стрелкой вправо (рис. 14, 17, 20).
|
|
|
Сохраним этот прием и для рассматриваемой цепи, задавшись синусоидой тока с нулевой начальной фазой ψI = 0:
|
где 
– амплитуда тока.
Тогда вектор действующего значения тока I для момента времени t = 0 будет направлен, как показано на рисунке 22 а,б.
Выбрав масштаб для напряжений, изобразим векторы 
с учетом углов сдвига φa = 0, φL = + π /2и φC = – π /2, совместив их начала с началом вектора 
(рис. 22а). При вращении всех четырех векторов против часовой стрелки с угловой частотой ω можно убедиться, что проходящую через центр вращения 0 «финишную ленточку», показанную на рисунке пунктиром, вначале пересекает вектор 
, через четверть периода – соответствующие векторы 
и , а еще через четверть периода – вектор (соответственно φL = + π /2, φa = 0, φC = – π /2).
Рис. 22
Рассмотрим подробно порядок построения векторной диаграммы последовательной цепи в соответствии с равенством (39), используя известный способ сложения нескольких векторов по правилу многоугольника. Согласно этому правилу, выбрав в качестве первого слагаемого один из векторов, остальные слагаемые векторы посредством параллельного переноса совмещают началами с концами предыдущих слагаемых векторов. Соединив начало первого слагаемого вектора с концом последнего, получают суммарный вектор.
Задавшись направлением вектора , в качестве первого слагаемого принимаем вектор (рис. 22б). В качестве второго слагаемого строим вектор параллельным переносом из рисунка 22а, совместив его начало с концом вектора . Проделав аналогичную операцию с третьим слагаемым , получим результирующий вектор напряжения на входе цепи 
, соединив начало первого слагаемого вектора с концом третьего (рис. 22б).
Очевидно полученная векторная диаграмма представляет собой графическое решение второго закона Кирхгофа, поскольку удовлетворяет уравнению (39). Как видно из векторной диаграммы на рисунке 22б, в заштрихованном векторном прямоугольном треугольнике противолежащий углу φ катет представляет собой вектор, длина которого Up равна алгебраической разности Up = UL – UC, поскольку векторы и находятся в противофазе, то есть сдвинуты на угол 180°. Результирующий вектор 
получил название «реактивное напряжение». Поскольку UL = IxL, UC = IxC., то
|
|
|
|
где 
– реактивное сопротивление.
Применив к треугольнику напряжений (рис. 22б) теорему Пифагора, получим
|
где 
– полное или кажущееся сопротивление.
Перепишем равенство (42) в виде
|
которое представляет собой закон Ома для последовательной цепи, читающийся так: ток прямо пропорционален напряжению на входе цепи. Коэффициентом пропорциональности для последовательной цепи является множитель 1 /z.
Как видно из векторной диаграммы (рис. 22б) вектор напряжения опережает вектор тока на угол φ (с учетом направления вращения векторов против часовой стрелки). Это объясняется тем, что в рассматриваемом случае цепь носит индуктивный характер, то есть xL > xC и UL > UC. Знак такого угла φ принято считать положительным. Очевидно для рассматриваемого случая можно записать выражение для мгновенного значения синусоиды напряжения
|
Разделив все стороны векторного треугольника напряжений (рис. 23а) на одну и ту же величину тока I, получим подобный исходному скалярный треугольник сопротивлений (рис. 23б) со сторонами
.
Рис. 23
Если умножить стороны треугольника напряжений на величину тока I, или стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока I 2, то получим еще один подобный треугольник мощностей (рис. 23в) со сторонами:
Р = Ua I = I 2 r – активная мощность [Вт];
Q = Up I = I 2 x – реактивная мощность [вар];
S = U I = I 2 z – полная или кажущаяся мощность [ВА].
Как известно размерностью единицы мощности является ватт (Вт), который представляет собой произведение размерностей напряжения и тока [Вт[ = [В]×[А]. Применительно к цепям переменного тока принято различать три типа единицы мощности, хотя их размерность одна и та же:
− Вт (ватт) – единица активной (средней за период) мощности;
− вар (вольт-ампер реактивный) – единица реактивной мощности;
− ВА (вольт-ампер) – единица измерения полной (кажущейся) мощности.
Таким образом понятие мощности в электрической цепи синусоидального тока значительно шире, чем в цепях постоянного тока, хотя единица измерения одна и та же, а именно «ватт».
Очевидно мгновенная мощность р на входе рассматриваемой последовательной цепи равна произведению синусоиды напряжения на синусоиду тока, то есть необходимо перемножить правые части равенств (44) и (40):
|
После ряда преобразований правой части равенства (45), подробно рассмотренных в [1], можно получить выражение для мгновенной мощности в виде:
|
где P = Scosφ – активная (средняя за период) мощность;
S = UI – полная (кажущаяся) мощность (рис. 23в).
Как видно из равенства (46), мгновенная мощность р пульсирует с двойной частотой 2 ω относительно средней (активной) мощности Р, причем амплитуда косинусоиды двойной частоты 
при φ ¹ 0 больше среднего значения (S > P), то есть график мгновенной мощности будет иметь отрицательные участки в пределах угла φ ¹ 0 (рис. 27б).
