Примеры. Тема: Случайная величина и ее характеристики

Практическая работа № 13

Тема: Случайная величина и ее характеристики.

Цель работы:

1. Закрепление теоретических знаний по теме «Теория вероятностей».

2. Отработка навыков вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

3. Нахождение функции распределения и построение ее графика.

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.

2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. Глава 15, § 15.1 – 15.15.

3. Конспект лекций.

Время на выполнение: 2 часа.

Содержание работы:

Теоретическая часть.

Случайная величина, её функция распределения.

Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений. В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д.

Определение. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Примеры.

1. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25. При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.

2. Измерение курса акции некоторого предприятия. Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞.

3. Однократное бросание игральной кости. Возможные события заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

4. Подбрасывается монета n раз. Возможные результаты: герб выпал 0, 1, 2, …, n раз.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Определение. Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 1, 3, 4).

Определение. Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 2).

Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.

Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.

Определение. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:

Х	х 1	х 2	…	хn	…
Р	р 1	р 2	…	рn	…

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х ₁, х ₂, …, х_n.

При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = х_i (i = 1, 2, …, n) образуют полную группу попарно независимых событий.

Следовательно, р ₁ + р ₂ + … + р_n = 1.

Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.