Методы вычисления определенных интегралов

На практике часто необходимо вычислять интегралы вида

(5.4)

где а и b - нижний и верхний пределы; f(x) - непрерывная функция на отрезке [a,b].

Методы вычисления определенных интегралов, описываемые в пособии, основываются на замене подынтегральной функции f(x) аппроксимирующей функцией j(x), для которой первообразную можно легко найти [5], т.е.

(5.5)

где S - приближенное значение интеграла; R - погрешность вычисления интеграла.

Как сказано выше, численное интегрирование применяют в случаях, когда аналитическое решение задачи трудоемко или невозможно.

Геометрический смысл определенного интеграла - площадь фигуры, ограниченной сверху (снизу) - кривой функции, снизу (сверху) - осью абцисс (X), слева и справа - линиями, параллельными оси ординат (Y), проведенными от оси абцисс до пересечения с кривой f(x). Площадь над осью абцисс считается положительной, под осью - отрицательной (рис.5.1).

При численном интегрировании поступают следующим образом. Разбивают интервал интегрирования [a,b] на N частей. Далее на каждом N -м интервале (или на ряде соседних интервалов) функцию f(x) аппроксимируют (заменяют) функцией, первообразная которой легко вычисляется. Другими словами, площадь криволинейной фигуры заменяют суммой геометрических фигур, площадь каждой можно легко вычислить. Далее значения интеграла на каждом интервале суммируются.

Если известно аналитическое выражение для подынтегральной функции, количество разбиений интервала интегрирования выбирается из требуемой точности результата с использованием оценки погрешности различных методов.

При численном интегрировании результатов физического или вычислительного экспериментов максимальное число разбиений интервала определяется шагом аргумента h.

Рассмотрим несколько наиболее распространенных методов численного интегрирования в порядке возрастания их точности, определяемой видом аппроксимирующей функции (об аппроксимации см. главу 6).