Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6.1. –x² – y² +4xy + 2x – 4y + 1 = 0 6.2. 2x² + 2y² -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0

6.3. 2xy + 2x – 2y = 0 6.4. -- 2x² -- 2y² +2xy -- 6x + 6y + 3 = 0

6.5. – 3x² –3y²+4xy-- 6x+ 4y+2= 0 6.6. -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0

6.7. –x² – y² -- 4xy -- 4x – 2y +2= 0 6.8. --4x² -- 4y² +2xy +10x--10y +1=0

6.9. 2xy + 2x – 2y -- 1 = 0 6.10. x² + y² + 2xy -- 8x – 8y + 1 = 0

6.11. x² + y² + 4xy -- 8x – 4y +1 = 0 6.12. x² + y² -- 2xy -- 2x + 2y -- 7 = 0

6.13. 2xy + 2x + 2y -- 3 = 0 6.14. 4x² + 4y² +2xy+12x + 12y +1 = 0

6.15. 3x²+3y²+4xy +8x +12y + 1 = 0 6.16. x² + y²-- 8xy -- 20x + 20y + 1 = 0

6.17. 3x²+3y²-- 2xy--6x + 2y + 1 = 0 6.18. 4xy + 4x + 4y + 1 = 0

6.19. 3x²+3y²--4xy + 6 –4y -- 7 = 0 6.20. -- 2xy -- 2x + 2y + 3 = 0

6.21. 2x² + 2y² +4xy +8x +8y +1 =0 6.22 x² + y² – 4xy +4x – 2y +1 = 0

6.23 3x² + 3y² – 4xy +4x +4y +1 = 0 6.24 -4xy + 8x +8y +1 = 0

Рассмотрим пример 5x² + 5y² -- 2xy + 10x – 2y + 1 = 0

1) Выпишем симметричную матрицу квадратичной формы

5x² + 5y² -- 2xy: A= [ 5 -1]

[-1 5 ]

2) Находим собственные значения:

Det (A – E) = = (5 – l)² – 1 = 0

Корни характеристического уравнения ² - 10 +24 = 0, очевидно, таковы: ₁ = 4,

₂ = 6.

3) Найдем собственные векторы матрицы А, рассматривая однородную систему:

(5 – )u₁ – u₂ = 0

– u₁ + (5 – )u₂ = 0

При ₁ = 4 имеем u₁ =u₂ и в качестве первого собственного вектора примем

u ⁽¹⁾ = (1; 1)^T.

(Знак ^(Т) означает транспонирование.) Нормируем его:

e ⁽¹⁾= u ⁽¹⁾ / =(1; 1)^T / .

(Напомним: если u = (u₁, u₂)^T, то | u | = .)

При ₂ = 6 имеем u₁ = -u₂. В качестве второго собственного вектора примем u ⁽²⁾ = (1; -1)^T и нормируем его:

e ⁽²⁾= u ⁽²⁾ / | u ⁽²⁾ |=(1; -1)^T / .

4) Сделаем замену координат , где матрица перехода S имеет столбцами нормированные собственные векторы e ⁽¹⁾, e ⁽²⁾ , то есть .

.

В новых координатах квадратичная форма примет вид

5x² + 5y² -- 2xy = l₁x₁² + l₂ y₁² = 4x₁² + 6y₁².

Это следует из общей теории, но полезно использовать равенство

(A x, x) = (AS x ₁, S x ₁) = (S ^TAS x ₁, x ₁) = ( A ₁ x ₁, x ₁), откуда

A₁ =S ^TAS = diag(l₁ , l₂) = ,

и проверить результат непосредственным матричным умножением.

В новых координатах уравнение кривой примет вид:

4x₁² + 6y₁² + 5 (x ₁+ y ₁) -- (x ₁ -- y ₁) +1 = 0.

4) Параллельным переносом осей координат устраним линейные члены. Соберем члены, содержащие x ₁ и выделим полный квадрат:
4x₁ ² + 4 x₁ = 4(x₁ + /2)² – 2.

Аналогично поcтупим с членами, содержащими y₁:
6 y₁ ² + 6 y₁ =6(y₁ + /2)² – 3.

Делаем замену переменных:

x₂ = x₁ + /2; y₂ = y₁ + /2,

в результате которой уравнение кривой принимает вид 4x₂ ² + 6y₂ ² – 4 = 0, и после деления на свободный член получаем

-- каноническое уравнение эллипса.