Математическая модель биполярного транзистора

Математическую модель биполярного транзистора можно построить на основе базовых элементов математической модели рис.2.3. При этом p-n и n-p – переходы моделируются с помощью диодов, включенных в прямом и обратном направлениях, а собираемые токи – с помощью источников тока, управляемых током.

Рис.2.3. Математическая модель биполярного транзистора

Если на эмиттер относительно базы подать достаточно большой положительный потенциал и замкнуть цепь коллектора, то из эмиттера в базу будет инжектироваться ток I1. При этом часть дырок в базе рекомбинирует с электронами, вызывая ток базы, а в коллектор попадает ток α_NI1, где α_N – коэффициент передачи тока при прямом (нормальном) включении транзистора (α_N <1). При инверсном включении транзистора и замкнутой цепи эмиттера из коллектора в базу инжектируется ток I2, а в эмиттер поступает ток α_N I2, где α_N – коэффициент передачи тока при инверсном включении транзистора (α_N << α_N). Токи I1, I2 называются инжектируемыми токами, а токи α_N I1 и α_N I2 собираемыми.

При этом

I_э = I₁ – α_I I₂ (2.1)

I_k = α_N I₁ – I₂ (2.2)

Ток I1 при замкнутой цепи коллектора и ток I2 при замкнутой цепи эмиттера можно представить как токи, протекающие через диоды

; (2.3)

, (2.4)

где I'эо - тепловой ток эмиттера при замкнутой цепи коллектора; I'ко- тепловой ток коллектора при замкнутой цепи эмиттера.

В справочной же литературе приводится тепловой ток эмиттера при разомкнутой цепи коллектора Iэо и тепловой ток коллектора при разомкнутой цепи эмиттера Iко, поэтому токи I'ко и I'ко необходимо выразить через токи Iэо Iко.

При разомкнутой цепи эмиттера из уравнения (2.1) получаем

I1 = α_I I2

При достаточно большом отрицательном напряжении на коллекторе Uкб<0 и êUкб ê>> φ_T из уравнения (2.4) имеем I₂ = -I^'_ко.

При разомкнутой цепи эмиттера и U_кб < 0, ‌ U_кб‌ >>φ_т через коллектор протекает тепловой ток коллектора Iко. Воспользовавшись уравнением (2.2), получаем

(2.5)

Аналогично

(2.6)

Подставляя в уравнение (2.1), (2.2) токи (2.3), (2.4) и воспользовавшись соотношениями (2.5), (2.6), получаем уравнения, описывающие математическую модель биполярного транзистора

, (2.7)

, (2.8)

(2.9)

Эти уравнения получили название уравнений Эберса-Молла, а математическая модель, описываемая этими уравнениями – моделью Эберса-Молла. Уравнения Эберса-Молла описывают связь токов через переходы с напряжениями на этих переходах.

При U_кб < 0 и ‌ U_кб ‌ >> φ_T из второго уравнения Эберса-Молла (2.8) получаем

I_к = α _NI_э + I_ко

откуда следует, что ток коллектора Iк не зависит от напряжения между коллектором и базой Uкб. В реальных же транзисторах ток коллектора возрастает с увеличением напряжения между коллектором и базой.

Оказывается уравнения Эберса-Молла не учитывают эффект модуляции толщины базы, получившей название эффекта Эрли. Эффект модуляции толщины базы заключается в изменении эффективной толщины базы при изменении напряжения Uкб. При увеличении отрицательного напряжения на коллекторе относительно базы в n-р – переходе расширяется слой обедненный основными носителями заряда (электронами). Т.к. он находится практически целиком в базе, то уменьшается эквивалентная толщина базы. При этом дырки быстрее проходят через базу и попадают в коллектор меньше рекомбинируя с электронами, вследствие чего, коллекторный ток увеличивается. Эффект Эрли учитывается в математической модели биполярного транзистора с помощью дополнительно введенного параметра - напряжения Эрли. Напряжение Эрли VA можно пояснить с помощью рис.2.4.

Рис.2.4. Определение напряжения Эрли

Из рис.2.4 следует, что

VA +U_кб₁ = I_к₁ctgα

где h22 – выходная проводимость при заданном токе коллектора I_к1, откуда

Значения h₂₂ (I_к1) даются в справочных данных, а U_кб1 в рабочем режиме составляет U_кб1 = (3÷5)В.

Напряжение Эрли характеризует степень наклона выходных статических характеристик относительно оси абсцисс.

Уравнение Эберса-Молла с учетом напряжения Эрли описывают нелинейную модель биполярного транзистора, применяющуюся для анализа по постоянному току и временного анализа. Для анализа частотных характеристик применяется линейная малосигнальная модель рис.2.5.