Уравнение Шредингера. Собственные функции и собственные значения. Стационарное уравнение Шредингера. Квантово-механическое представление свободно движущейся частицы

i*ћ* ∂ψ/ ∂t = - ћ^2 *Δψ/ 2m + U(x,y,z,t)* ψ

m – масса микрочастицы, Δ - оператор Лапласа (в декартовых координатах оператор Лапласа имеет вид Δ= ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2), U(x,y,z,t) − функция координат и времени, описывающая воздействие на частицу силовых полей.

Уравнение называется общим уравнением Шредингера. Оно дополняется условиями, накладываемыми на функцию Ψ:

1) Ψ − конечная, непрерывная и однозначная.

2) производные от Ψ по x, y, z, t непрерывны.

3) функция |Ψ|^2 должна быть интегрируема.

ћ^2 *Δψ/ 2m + (E - U(x,y,z,t))* ψ = 0

Это уравнение не содержит времени и называется стационарным уравнением Шредингера.

Физический смысл имеют только регулярные волновые функции — конечные,

однозначные и непрерывные вместе со своими первыми производными. Эти

условия выполняются только при определенном наборе E. Эти значения

энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют

собственным значениям энергии, называются собственными функциями.

Собственные значения E могут образовывать как непрерывный, так и

дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (или сплошном)

спектре, во втором — о дискретном спектре.

Свободная частица − движется с постоянной скоростью V в отсутствии силовых полей, т.е. U(x, y, z)≡0. Уравнение Шредингера примет вид: ∂^2 ψ /∂x^2 + k^2 ψ =0, где k^2=2mE / ћ^2

Частное решение ψ(x) = A0*cos(kx);

в комплексной форме - ψ(x) = A0*e^(ikx)+B0*e^(-ikx)

ψ(x,t) = A0*e^[-i(ωt - kx)]+B0*e^[-i(ωt + kx)] = A0*e^[-i/ ћ *(Et - px)]+B0*e^[- i/ ћ (Et + px)] – полная волновая ф-ия.

Это есть суперпозиция двух волн Де Бройля, распространяющихся одна в положительном, другая в отрицательном направлениях, что соответствует движение частицы вдоль (B0=0) или против (A0=0) оси x.

Билет №3.