Угол между плоскостями

Рассмотрим две плоскости α1 и α2, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α1 и α2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей:

1) если их нормальные векторы коллинеарные :

2) , если их нормальные векторы перпендикулярны :

.

Расстояние от точки до плоскости.

Дано:

M0 (x0;y0;z0)

Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М1(x1;y1;z­1) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится по формуле:

Гиперболоиды.

Однополостный гиперболоид.

Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид.

Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a1=a, b1=b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться.

Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями:

Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется однополостным гиперболоидом.

Двуполостный гиперболоид.

Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями

Если |h|<c, то плоскости z=h не пересекаются.

Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с).

Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде:

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.­– -

У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму двух неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.

5 БИЛЕТ: