Содержание. 2. Сплайны, простейшие свойства

2 3 4 5 6 7 8

1. Введение. 3

2. Сплайны, простейшие свойства. 4

3. Использование сплайнов в графических средах. 8

3.1 Графика в Maple. 9

3.2 Примеры построения графиков сплайнов в Maple. 13

3.3 Графика в Autodesk 3ds Max. 16

4. Сплайны в 3ds Max. 18

4.1 Основы моделирования. Создание моделей с помощью сплайнов. 18

4.2 Создание трехмерных объектов методом лофтинга. 28

5. Практическая работа. Создание модели корпуса автомобиля при помощи сплайнов в 3Ds Max. 36

Литература и источники. 56

1. Введение

В дипломной работе рассматривается один из мощных инструментов, используемых в векторной графике – сплайны. Сплайны первоначально использовались для решения прикладных математических задач, в том числе интерполяции, нахождении наилучшей квадратурной формулы и т.д. в настоящее время теория сплайнов получила большое использование в моделировании и компьютерной графике.

Векторная графика получила большую популярность и широкое распространение. В мире множество программ для моделирования в различных сферах, наиболее известные - Maya, ArchiCad, 3 D’S MAX. В каждой из них используются сплайны.

Сплайн - основное понятие всей векторной графики. Суть сплайна: любую элементарную кривую можно построить по четырем точкам на плоскости. Перемещая эти точки, меняем кривую.

В данной работе рассмотрено использование сплайнов в моделировании, а именно в программе 3ds Max. Итогом является практическая работа: создание модели корпуса автомобиля BMW X5, при построении которого в качестве основного инструмента использовались простые виды сплайна.

Во втором пункте работы приведено определение сплайна и простейшие свойства. В третьем - представлено использование сплайнов в Maple и в 3ds Max. Приведены примеры.

В четвертом пункте подробно рассматривается использование сплайнов в 3ds Max, а также модификаторы для данного инструмента, необходимые для 3х-мерного моделирования. В пятом - приведена практическая часть, в которой рассматриваются этапы создания модели автомобиля BMW X5.

2. Сплайны, простейшие свойства.

В этом пункте вводится понятие полиномиального сплайна, приведены его простейшие свойства, рассмотрена задача кратной сплайн-интерполяции и условия ее однозначной разрешимости, а также оценка погрешности.

«Сплайн» (англ. spline) в переводе означает лекало (гибкую линейку) для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости.

Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную в R¹ и имеющую некоторое число непрерывных производных.

Основная область применения сплайнов – задачи интерполяции. Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией является их сходимость и устойчивость процесса вычислений и возможность иметь нуль-интервалы.

2.1 Определение сплайна и его простейшие свойства.

Пусть r, m- натуральные числа.

Определение. Полиномиальным сплайном степени r с m узлами называется кусочно-полиномиальная функция, которая на каждом из своих частичных промежутков (-∞, ], [ ],…[ ,+∞) представляет собой полином степени не выше, чем r и всюду r-1 раз непрерывно дифференцируема, т.е.

Заметим, что при r=1 сплайн первой степени представляет из себя непрерывную ломаную.

Сплайны очень удобно применять для решения задач интерполяции. Отличительные особенности сплайнов от полиномиального случая заключаются в следующем:

1. наличие 2 систем узлов: - узлы интерполяции и - узлы сплайна;

2. сплайн может обращаться в нуль на целых интервалах, что невозможно для полиномов;

3. условие однозначной разрешимости задачи сплайн-интерполяции будет зависеть от взаимного расположения узлов сплайна и узлов интерполяции.

Пусть r N.

Определение. Функцией срезки назовем следующую функцию

Заметим, что

Отметим некоторые свойства функции срезки.

1. Для k∈1: (r-1) производная функции срезки вычисляется по формуле

2. При x≠0 производная r -го порядка

Заметим, что в точке х=0 эта производная терпит разрыв 1-го рода, а значит r- ая производная функции срезки не является непрерывной, поэтому

Отметим, что функция - функция, r-ая производная которой в точке х=0 имеет конечный скачок.

Определение. Функция вида

называется полиномиальным сплайном степени r с m узлами

Заметим, что это определение эквивалентно приведенному выше, так как:

1. S(x) . Это следует из свойств функции срезки.

2. нетрудно видеть, что на каждом из частичных промежутков (-∞, ], [ ],…[ ,+∞) функция S(x) представляет собой полином степени не выше, чем r (причем эти полиномы могут быть, вообще говоря, различными на различных промежутках).

2.2. ЗАДАЧА КРАТНОЙ СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Рассмотрим задачу кратной интерполяции при помощи полиномиальных сплайнов класса (r,m) с фиксированными узлами

Пусть S(x) S(r,m) – полиномиальный сплайн степени r с m узлами

Пусть x₁, x₂, …, x_p - узлы интерполяции, имеющие соответственно кратности σ₁, σ₂, …, σ_p

Рассмотрим задачу кратной сплайн-интерполяции в следующей постановке:

, . (3.1)

Пусть n=r+1+m, , и , если .

Отметим некоторые свойства задачи (3.1) [4].

Обозначим через V(t_i,t_j) – количество узлов интерполяции с учетом их кратности, попадающие в замыкание отрезка (t_i,t_j), где t₀=- , t_m₊₁=+ .