Определение нормы. Примеры нормированных векторных пространств над полем R

Норма(обозначается ||x||) – такое число, поставленное в соответствие вектору х, для которого выполняются следующие свойства:

1) ||x||≥0, ||x||=0 только в том случае, если х=0

2) ||аx||=|a|*||x||

3) ||x+у||≤||x||+||у||

Пример:

Пространство R^m , на котором можно ввести несколько различных норм

11. Определение пространств C[0,1], CL[a,b], L₁[a,b] со стандартной нормой.

С[a, b] – пространство непрерывных на [a, b] функций, где определена норма:

Следовательно в частности пространство C[0,1] – функции непрерывные на [0,1] с нормой

вероятно CL[a,b] это С^(к) [a,b] – пространство непрерывно дифференцируемых к раз функций с нормой:

Если в этом же пространстве ввести другую норму:

То получится пространство L_p[a,b], его частный случай L₁[a,b] имеет стандартную норму: