Парадоксы бесконечных множеств. Мощность множества. Счётное множество. Мощность континуума

Самое интересное в теории множеств то, что она рассматривает не только конечные множества – множества, содержащие конечное число элементов, но и бесконечные, для которых даже понятие числа бессмыс­ленно. Таким образом, теория множеств может рассматривать не только множест­во студентов в группе, но и множество точек на прямой, и множество звёзд на небе.

До Кантора математики признавали и использовали так называемую потенциальную бесконечность. Самый яркий пример – это по­нятие бесконечно большого числа в высшей математике: бесконечно большое число – это число, которое больше любого, наперёд заданного.

Кантор позволил себе в математике актуальную бесконечность. По Кантору, бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные мно­жества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математиче­ские манипуляции, например, сравнивать.

Кантор доказал теорему, из которой следует, что бесконечности могут быть раз­ные по величине. Поскольку «число» и «количество» – термины в этом случае неуместные, то он ввёл понятие «мощность множества». Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Обратимся для наглядности к числам. Пересчитывая что-то, мы используем целые (положительные) числа 1, 2, 3..., которые называют натуральными. Мы знаем, что чисел нам хва­тит для пересчёта чего угодно. Мы также знаем, что это множество бесконечное. Кантор назвал это множество счётным, а его мощность – мощно­стью счётного множества. Мощность этого множества Кантор взял за эталон и стал сравнивать её с мощностями других множеств. Во-первых, он установил, что эта мощ­ность больше мощности любого конечного множества. Во-вторых, он доказал, что многие бесконечные множества имеют ту же мощность (то же «количество» элементов), что и счётное.

Один из самых поразительных примеров, что множество целых положительных чисел имеет столько же элементов, сколько и мно­жество целых чётных положительных чисел, т.е. они равномощны(!).

Действительно, запишем друг под другом:

1 2 3 4...

2 4 6 8...

Из этой записи видно, что обе последовательности имеют одинаковое количество элементов, поскольку любому числу первой, всегда соответствует стро­го одно число второй последовательности. Так что вторая последователь­ность не может исчерпаться раньше первой, и наоборот. Следовательно, эти множества равномощны, и здесь часть равна целому. Мы получили один из парадоксов бесконечных множеств.

Если построить множество всех подмножеств конкретного множест­ва, то всегда получим множество больше исходного. Кантор доказал, что если взять бесконечное множество счётной мощности, например, множество целых положительных чисел, и умозрительно построить множество, содержащее в качестве элементов все под­множества этого множества, то получим мощность большую, чем счёт­ная мощность. В принципе не существует способа пересчитать (пусть в бесконечности) такое множество. В нём всегда больше элементов. Эта но­вая большая мощность называется мощностью континуума.

И вновь парадокс. Мощность континуума имеет, например, множество то­чек прямой. Более того, любой отрезок числовой оси, даже отрезок от 0 до 1, имеет мощность континуума, то есть на нём больше чисел, чем найдётся чисел в счётном множестве. А раз этот отрезок имеет мощность континуума, как и вся (бес­конечная) прямая и, естественно, любой её отрезок, то можно сказать, что на отрезке от 0 до 1 ровно столько же точек, сколько на отрезке прямой от Земли до Юпитера. Здесь тоже часть равна целому, если и часть и целое имеют мощ­ность континуума. И все они одинаково больше числа звёзд на небе или числа всевозможных алгоритмов...