Законы теории множеств

· Коммутативный, или переместительный, закон:

А В = В А, А В = В А.

Объединение (пересечение) отличников и спортсменов равно объединению (пересечению) спортсменов и отличников.

· Ассоциативный, или сочетательный, закон:

(А В) С = А (В С) = А В С,

(А В) С = А (В С) = А В С.

От изменения порядка объединения (пересечения) спортсменов, отличников и красавцев результат не меняется.

· Дистрибутивный, или распределительный, закон:

(А В) С = (А С) (В С),

(А В) С = (А С) (В С).

· Закон идемпотентности:

А А = А, А А = А.

Объединение (пересечение) множества спортсменов с множеством спортсменов даёт множество спортсменов.

· Закон поглощения:

А (А В) = А, А (А В) = А.

Объединение отличников с пересечением отличников и спортсменов даёт множество отличников.

Пересечение отличников с объединением отличников и спортсменов даёт множество отличников.

· Закон де Моргана:

Ø(А В) = Ø В Ø А, Ø(А В) = Ø В Ø А.

Дополнение объединения отличников со спортсменами равно пересечению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников.

Дополнение пересечения отличников со спортсменами равно объединению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников.

· Закон двойного дополнения:

Ø(Ø А) = А.

Дополнение дополнения множества спортсменов есть само множество спортсменов.

· Закон противоречия:

А Ø А = Æ.

Пересечение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов пусто. Действительно, если в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены, то у этого пересечения не может быть общих элементов.

· Закон исключённого третьего:

А Ø А = Е, где Е – множество-универсум.

Объединение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов совпадает с рассматриваемым универсумом. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены из универсума, то это объединение как раз и составляет весь универсум.

Задача 4.

Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?

Решение.

1) По условию: 250 абитуриентов – всего.

По условию: 210 абитуриентов – выдержали экзамен, т.е. получили (5 или 4 или 3).

40 = 250 – 210 – не выдержали экзамен, т.е. получили 2.

2) По условию: 180 абитуриентов – получили оценку ниже 5, т.е. (4 или 3 или 2).

3) 180 – 40 = 140 (абитуриентов) – получили (4 или 3).·

Задача 5.

В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на лыжах и на коньках?

Решение.

Рис. 11. К решению задачи 4. Тёмно-серым обозначено Ø(А В) = Е \ (А В)

1) Пусть А = 1250 - «умеют кататься на лыжах», т.е.

«только на лыжах + и на лыжах и на коньках».

2) Пусть В = 952 - «умеют кататься на коньках», т.е.

«только на коньках + и на лыжах и на коньках».

3) Обратимся к рисунку 11, на котором ситуация изображена в виде диаграммы Эйлера-Венна.

По условию задачи: Е = 1400 - «всего учеников»,

Ø(А В) = 60 - «не умеют кататься ни на лыжах, ни на коньках».

Ø(А В) = Е \ (А В) = Е – (А В), отсюда имеем: (А В) = Е – (Ø(А В)),

получаем: (А В) = 1400 – 60 = 1340 - «умеют кататься». (1)

4) умеют кататься = только на лыжах + только на коньках + и на лыжах и на коньках,

где «и на лыжах и на коньках» = (А В) (2) (см. рис. 11),

умеют кататься = (только на лыжах + и на лыжах и на коньках) +

+ (только на коньках + и на лыжах и на коньках) – и на лыжах и на коньках (3)

5) «только на лыжах + и на лыжах и на коньках» = А, (4)

«только на коньках + и на лыжах и на коньках» = В, (5) (см. рис. 11)

6) Подставим (4) и (5) в (3): «умеют кататься» = А + В – и на лыжах и на коньках (6),

подставим (1) и (2) в (6): (А В) = А + В – (А В).

7) Имеем: (А В) = А + В – (А В).

Заменим числовыми величинами:

1340 = 1250 + 952 – (А В),

(А В) = 1250 + 952 – 1340 = 862 - «умеют кататься и на лыжах и на коньках».·