Пример 11 6. Формула полной вероятности. Формула байеса

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один стрелок.

Решение:

Вероятность того, что в мишень попадает первый стрелок и не попадает второй, равна:

Вероятность того, что попадет второй стрелок в мишень и не попадет первый, равна:

Вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Следствием основных законов сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Пусть требуется найти вероятность некоторого события В, которое может произойти вместе с одним из событий A₁, A₂,..., A_п, образующих полную группу несовместных событий. Так как события A₁, A₂,..., A_п образуют полную группу, то событие В может произойти только в комбинации с каким-либо из них:

В = А₁В + А₂В +... +А_пВ.

Так как событие A₁, A₂,..., A_п несовместны, то и комбинации А₁В, А₂В, А_пВ несовместны.

Согласно закону сложения несовместных событий имеем:

Каждое из слагаемых является вероятностью произведения двух зависимых событий.

(9)

Теорема. Вероятность события В, которое может наступить только при условии появления одного из событий A₁, A₂,..., A_п, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий A₁, A₂,..., A_п на соответствующую условную вероятность события В.

Полученная формула называется формулой полной вероятности, а события A₁, A₂,..., A_п - гипотезами.