Теоремы сложения вероятностей

Теорема 3.2 (Теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Теорема 3.3 (Теорема сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий:

.

Пример 3.3. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех положенных ему вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

Решение. Введем обозначения: событие A – студент сдал зачет, – студент ответил на 4 вопроса, – студент ответил на 3 вопроса. Тогда . События и являются несовместными, тогда по теореме 3.2 получаем .

, , , .

, , ,

в итоге получаем .

Пример 3.4. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1, 2 и 3 справочнике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: 1) только в одном справочнике (событие A); 2) только в двух справочниках (событие B); 3) во всех трех справочниках (событие С); 4) ни в одном справочнике (событие D); 5) хотя бы в одном справочнике (событие Е).

Решение. Введем обозначения: событие – формула находится в -ом справочнике (i=1, 2, 3). По условию:

, ;

, ;

, .

1) , тогда в силу теорем 3.1 и 3.2 получаем:

.

2) , аналогично в силу теорем 3.1 и 3.2 получаем:

.

3) , .

4) , .

5) Для вычисления вероятности события E перейдем к противоположному событию, – формула не содержится ни в одном из справочников, то есть = , . Откуда получаем: .

Пример 3.5. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта пиковая или туз.

Решение. Введем обозначения: событие A – вынута пиковая карта или туз, – вынута пиковая карта, – вынут туз. Тогда . События и являются совместными, тогда по теореме 3.3

,

где , . , поэтому . Окончательно получаем:

.