Точечные оценки. Пусть имеется СВ , закон распределения которой содержит неизвестный параметр

Пусть имеется СВ , закон распределения которой содержит неизвестный параметр . Требуется на основании опытных данных найти подходящую оценку параметра .

Обозначим через наблюдаемые значения СВ в результате проведенных опытов. Пусть величина . Вычисленная на основе полученных значений является оценкой параметра . Это значит, что является функцией величин .

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом .

Кроме того, наблюдаемые значения рассматриваем как СВ, каждая из которых распределена по тому же закону, что и СВ . Поэтому является тоже СВ. закон распределения (ЗР) которой зависит, во-первых, от ЗР СВ , а во-вторых, от числа опытов .

Для того, чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами:

1. Несмещенность оценки.

Несмещенной называют точечную оценку, МО которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е.

Смещенной называют точечную оценку, МО которой не равно оцениваемому параметру, т.е. .

2. Состоятельность оценки.

Оценка называется состоятельной. Если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном возрастании числа опытов, т.е.

,

где - сколь угодно малое положительное число.

Другими словами, состоятельность оценки означает, что при достаточном большом со сколь угодно большой достоверностью отклонения оценки от истинного параметра меньше любой наперед заданной величины.

3. Эффективность оценки.

Оценки, обладающие свойствами 1 и 2, при ограниченном числе опытов могут различаться дисперсиями. Очевидно. Что чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия была минимальной, т.е

.

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой, т.к. .

► , т.к. наблюдаемые значения рассматриваем как СВ, каждая из которых распределена по тому же закону, что и СВ . ◄

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой, так как , а равно:

.

Для того, чтобы «исправить» выборочную дисперсию, т.е. получить равенство , необходимо умножить на . Получим исправленную дисперсию:

или

(5)

Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Замечание. На практике при используют исправленную дисперсию, а при достаточно больших выборочная и исправленная дисперсии различаются мало.

Таким образом, все оценки, рассмотренные выше – точечные.

При достаточно малых точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. Поэтому пользуются интервальными оценками, которые позволяют оценить точность и надежность числового значения параметра.