Комбинаторика. Алгебра событий

Глава XVI

Случайные события

Комбинаторика. Алгебра событий.

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном подсчете вероятностей.

Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех различных размещений определяется формулой:

.

Сочетаниями из n различных элементов по k называют множества, содержащие k элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Количество различных сочетаний определяется формулой:

.

Перестановки. Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками. Количество различных перестановок n элементов определяется формулой:

.

Пример.

В урне 3 шара с номерами 1, 2, 3. Из урны один за другим извлекаются два шара. Определить число всех возможных пар шаров.

Решение.

Общее число пар равно числу размещений из трех элементов по два.

.

Этот результат можно получить и простым перебором. Перечислим возможные комбинации: (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2).

Пример.
В урне 3 шара с номерами 1, 2, 3. Из урны один за другим извлекаются три шара. Определить число всех возможных троек шаров.
Решение.
Число всех троек равно .

Или (1, 2,3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2,1).

Пример.

В урне 9 шаров с номерами 1, 2, … 9.

а) из урны один за другим извлекаются три шара. Номера записываются в порядке появления шаров. Определить число всех возможных вариантов получаемых трехзначных чисел;

б) из урны извлекаются три шара одновременно. Определить число всех возможных троек;

в) из урны один за другим извлекаются все шары. Определить число всех возможных вариантов получаемых девятизначных чисел.

Решение.

а) ; б) ;

в) .