2015-06-04
444
Требуется найти решение системы линейных уравнений:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + … + a 1 n xn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + … + a 2 n xn = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + … + a 3 n xn = b 3 (3.1)
.
an 1 x 1 + an 2 x 2 + an 3 x 3 + … + annxn = bn
или в матричной форме:
Ax = b, (3.2)
где
a 11 a 12 a 13 … a 1 n x 1 b 1
a 21 a 22 a 23 … a 2 n x 2 b 2
A = a 31 a 32 a 33 … a 3 n x =x 3, b =b 3
an 1 an 2 an 3 ann xn bn
По правилу Крамера система n линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель системы отличен от нуля (det A 0) и значение каждого из неизвестных определяется следующим образом:
xj =, j = 1, …, n, (3.3)
где det Aj - определитель матрицы, получаемой заменой j -го столбца матрицы A столбцом правых частей b.
Непосредственный расчет определителей для больших n является очень трудоемким по сравнению с вычислительными методами.
Известные в настоящее время многочисленные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений распадаются на две большие группы: прямые методы и методы итераций.
Прямые методы всегда гарантируют получение решения, если оно существуют, однако, для больших n требуется большое количество операций, и возникает опасность накопления погрешностей.
Этого недостатка лишены итерационные методы, но зато они не всегда сходятся и могут применяться лишь для систем определенных классов.
Среди прямых методов наиболее распространенным является метод исключения Гаусса и его модификации, Наиболее распространенными итерационными методами является метод простых итераций Якоби и метод Зейделя.
Эти методы будут рассмотрены в следующих разделах.
