Равносильность уравнений

Уравнением с одной переменной x называется выражение f(x) = g(x), содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем (или решением) уравнения f(x) = g(x), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство. Важно понимать, что решение – это число.

Уравнения f(x) = g(x) и f₁(x) = g₁(x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений.

Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f(x) = g(x) и f₁(x) = g₁(x) равносильны, записывается так: f(x) = g(x) f₁(x) = g₁(x) здесь – знак равносильности.

Ясно, что уравнение f₁(x) = g₁(x) может оказаться проще уравнения f(x) = g(x), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение f(x) = g(x), то его и нужно решать.