Алгоритм решения задачи

Шаг 1. Составить обобщенную функцию Лагранжа:

Шаг 2. Записать необходимые условия экстремума первого порядка:

Шаг 3. Решить систему (3.12) для двух случаев:

1) λ₀ ^* = 0;

2) λ₀ ^* ≠ 0 (при этом поделить условие «а» на λ₀ ^* и заменить на λ _j ^*).

В результате найти условно-стационарные точки х *, выделив из них полученные при λ₀ ^* ≠ 0 (они могут быть регулярными точками экстремума).

Шаг 4. Для выделенных на шаге 3 точек проверить достаточные условия экстремума:

а) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (х *, λ *):

б) записать систему (3.12) в точке х *:

в) из предыдущей системы выразить любые т дифференциалов dx_i через остальные (п – т) и подставить в d ² L (х *, λ *);

г) если d ² L (х *, λ *) > 0 при ненулевых dx, то в точке х * — условный локальный минимум. Если d ² L (х *, λ *) < 0 при ненулевых d х, то в точке х * — условный локальный максимум. Если достаточные условия экстремума не выполняются, следует проверить выполнение необходимых условий второго порядка (см. утверждение 3.2), следуя аналогичной процедуре. Если они выполняются, то требуется дополнительное исследование, а если не выполняются, то в точке х* нет условного экстремума.

Шаг 5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Условия экстремума в задаче (3.7) приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Необходимые и достаточные условия в задаче поиска
условного экстремума при ограничениях типа равенств

Пример 3.5. Найти экстремум функции на множестве X = { х | х ₁ + х ₂ – 2 = 0}: g ₁ (x) = x ₁ + х ₂ – 2 = 0.

Проверим условие регулярности. Так как ∇ g ₁ (x) = (l, l) ^T ≠ 0, то условие выполняется (см. определение 3.6). Поэтому будем пользоваться классической функцией Лагранжа (3.3).

1. Составим функцию Лагранжа:

2. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:

3. Решение системы: х ₁ ^* = х ₂ ^* = 1, λ₁ ^* = –2 — условно-стационарная точка.

4. Проверим достаточные условия экстремума:

в) выразим дифференциал dx ₁ через dx ₂: dx ₁ = – dx ₂ подставим в d ² L;

г) так как d ² L (x *, λ₁ ^*) = 4 dx ₂ ²> 0 при dx ₂ ≠ 0, то в точке x * = (l, l) ^T — регулярный локальный условный минимум (строка 1 в табл. 3.1). Графическое решение задачи приведено на рис. 1.7.