Приложения. Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении физических задач, являются большей частью приближенными

I. О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении физических задач, являются большей частью приближенными.

К таким величинам относятся, в частности, многие константы, приводимые в справочниках. Например, для ускорения свободного падения в справочниках дается значение 9,81м/с, для отношения длины окружности к диаметру – 3,14, для массы электрона – 9,1·10^-31кг и т.п. При более точном вычислении или измерении эти величины оказываются равными g = 9,80665 м/с², p = 3,1416, m _е = 9,106·10‾³¹кг. Однако и эти значения, в свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности измерения, или в силу того, что получены путем округления еще более точных значений.

Очень часто неопытные лица при вычислениях добиваются получения такой точности результатов, которая совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Это приводит к бесполезной затрате труда t времени,

Рассмотрим такой пример. Пусть требуется определить плотность r вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точностью до 0,01г определили массу тела: m = (9,38 ± 0,01) г. Затем с точностью до 0,01 см³был измерен объем тела: V = (3,463 ± 0,01) см³.

Без критического подхода к вычислениям можно получить такой результат:

Но так как числа 9,38 и 3,46 приближенные, то последние цифры в этих телах сомнительны. Эти числа при измерении могли быть получены такими: первое – 9,39 или 9,37, второе – 3,45 или 3,47. В самом деле, при взвешивании с указанной выше точностью могла быть допущена погрешность на 0,01 как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же: самое в отношении объема. Таким образом, плотность тела, если ее вычислять с точностью до пятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказаться

или

Сравнение всех трех результатов показывает, что они отличаются уже вторыми десятичными знаками и что достоверным является лишь первый десятичный знак, а второй – сомнительным. Цифры, выражающие остальные десятичные знаки, являются совершенно случайными не способны лишь ввести в заблуждение пользующегося вычисленными результатами. Следовательно, работа по вычислению большинства знаков затрачена впустую.

Во избежание бесполезных затрат труда и времени принято вычислять кроме достоверных знаков еще только один сомнительный.

В рассмотренном примере надо было вести вычисление до второго десятичного знака:

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр1 в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. Например, при сложении чисел

4,462

₊2,38

1,17273

1,0262

9,04093

следует сумму округлить до сотых долей, т.е. принять ее равной 9,04.

2. При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр.

Например, вместо вычисления выражения

3,723·2,4·5,1846

следует вычислять выражение

3,7·2,4·5,2.

В окончательном результате необходимо оставлять такое же число значащих цифр, какое имеется в сомножителях, после их округления.

В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило соблюдается и при делении приближенным чисел.

3. При возведении в квадрат или в куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например,

1,32² » 1,74.

При извлечении квадратного или кубического корня в результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении. Например,

4. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий. Например,

Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр: