Дифференциальные уравнения порядка выше первого

1 2 3 4 5 6

Простейшие случаи понижения порядка

1. Уравнение вида y⁽ⁿ⁾=f(x) (случай непосредственного интегрирования).

В соответствии с определением производной n- ого порядка

преобразуем исходное уравнение и проинтегрируем

в результате чего порядок уравнения понизился.

Общее решение получается последовательным интегрированием

2. Уравнение вида F(x,y⁽^k⁾,y⁽^k⁺¹⁾,...,y⁽ⁿ⁾)=0 (не содержит искомой функции и её производных до порядка к-1 включительно).

Порядок уравнения может быть понижен на к единиц заменой

y⁽^k⁾=p(x).

Так как y⁽^k⁺¹⁾=p¢(x),..., y⁽ⁿ⁾=p⁽ⁿ^-^k⁾(x), уравнение примет вид

F(x,p,p¢,...,p⁽ⁿ^-^k⁾)=0.

Из последнего уравнения находим p=p(x,C₁,C₂,...,C_n_-_k), а у находим из уравнения y⁽^k⁾=p(x,C₁,C₂,...,C_n_-к) интегрированием к раз.

3. Уравнение вида F(y,y¢,y²,...,y⁽ⁿ⁾)=0 (не содержит независимой переменной).

Понижение порядка уравнения на единицу достигается заменой y¢=р(у), причем следует обратить внимание на то, что р рассматривается как новая неизвестная функция аргумента у (а не х, как в предыдущем случае). Поэтому все производные функции у по аргументу х надо выразить через производные новой функции р(у) по аргументу у, учитывая что р является сложной функцией от х:

4. Порядок уравнения понижается на единицу в случаях, когда уравнение можно привести к виду

Откуда следует

Замечание. Для рассмотренных выше уравнений вида 2-4 при решении задачи Коши в ряде случаев нецелесообразно находить общее решение уравнения. Решение упрощается, если начальные условия используются в процессе решения.

Пример 6. Решить уравнение