Объединение множеств. Свойства объединения (доказательство одного по выбору студента). Число элементов объединения двух конечных множеств

Объединением множеств АиВ называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся хотя бы в одном из этих множеств. АUВ={х|х€А или х€В} Пример 1. А={1;2;3;4} В={1;3;5} АUВ={1;2;3;4;5}

Пример 2. С={а;в;с;d;e;f} D={c;k} CUD{a;b;c;d;e;f;k}

Если объединение – выписываем сначала элементы множества с большим количеством элементов, из другого множества выписываем только те, которых нет в первом. АU¢=А АUА=А Изображение объединения множеств с помощью кругов Эйлера.

Свойства объединения:

1 Коммутативность (переместительное св-во) Для любых 2-х множеств АиВ выполняется равенство: АUВ=ВUА

1) Возьмём произвольный элемент из этого мн-ва х₁€АUВ, тогда возможны 3 случая:

1 х₁€А; х₁€В=> х₁€ВUА

2 х₁€А; х₁€В=> х₁€ВUА

3 х₁€А; х₁€В=> х₁€ВUА

Итак, (х₁€АUВ)=> (х₁€ВUА)=>(АUВсВUА)

2) Возьмём произвольны элемент х₂ из этого мн-ва: х₂€ВUА, тогда возможны 3 случая:

1 х₂€В х₂€А=>х₂€АUВ

2 х₂€В х₂€А=>х₂€АUВ

3 х₂€В х₂€А=>х₂€АUВ

Итак, (х₂€ВUА=>х₂€АUВ)=>(ВUАcАUВ)

3) АUВcВUА } => АUВ=ВUА ч.т.д.

ВUАcАUВ

2 Ассоциативность (сочетательное свойство) А,В,С (АUВ)UС=АU(ВUС)

3 Дистрибутивность объединения относительно пересечения (Распределительное св-во) Для любых трёх мн-в А,В,С выполняется равенство: (А∩В)UС=(АUС)∩(ВUС)

4 Дистрибутивность пересечения относительно объединения. Для любых трёх множеств выполняется равенство (АUВ)∩С=(А∩С)U(В∩С)

2. Дана задача:

”12 учеников класса занимаются в секции баскетбола, а 13 учеников того же класса - в секции тенниса. Сколько учеников этого класса занимаются в данных двух секциях?”.

• Объясните, почему данную задачу нельзя решать сложением.

• Приведите пример задачи на нахождение суммы.

• Объясните выбор действия в предложенной Вами задаче с теоретико-множественной позиции.

• Объясните выбор действия в предложенной Вами задаче с позиции ученика начальной школы.

• Перечислите другие виды простых задач, решаемых сложением.

• Опишите методику ознакомления с задачами на уменьшение числа на несколько единиц, выраженным в косвенной форме.