2015-06-10
460
Пример: Заданы две случайные величины 
, 
простейшими законами распределения (для сокращения преобразований):
, 
.
Закон распределения каждой из случайных величин не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина, т.е. случайные величины независимы. Найти математическое ожидание произведения 
двух независимых случайных величин. Возможные значения случайной величины равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение , а вероятности этих произведений равны произведениям соответствующих вероятностей, т.е.
.
Тогда
Учитывая, что
, 
,
получим
,
т.е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий. Обобщение на произвольное число случайных величин − тривиально:
или
.
Возможные значения суммы случайных величин 
равны суммам каждого возможного значения с каждым возможным значением , а соответствующие вероятности равны произведениям вероятностей слагаемых, т.е.
Тогда
Учитывая, что 
, 
и
, ,
получим
,
т.е. математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий. Обобщение на произвольное число слагаемых случайных величин − тривиально:
или
.
В частном случае, когда одна из величин детерминирована (неслучайна, постоянна), т.е.
и 
,
получим
,
Пример: TS состоит из 
независимо работающих элементов. Вероятность отказа 
-го элемента в течение установленного времени равна 
. Найти среднее число (математическое ожидание) отказавших элементов за это время.
Решение: Случайная величина 
принимает два возможных значения: 
− -й элемент не отказал с вероятностью 
; 
− -й элемент отказал с вероятностью , т.е. закон распределения имеет вид
Общее число отказов в TS (случайная величина 
) складывается из отказов отдельных -х элементов (случайных величин ), т.е.
.
Тогда
или
.
Учитывая, что
,
получим
.
В частности, для однородных элементов 
, получим
,
что соответствует ранее приведенному результату.
