Для удобства записи соответствующей оптимизационной задачи введем, дополнительно, следующие обозначения. Пусть
· = (D1, D2 , …, DN) – вектор годового потребления i -товаров;
· = (Ch1, Ch2, …, ChN) – вектор соответствующих годовых затрат на хранение для единиц i -товаров;
· × - скалярное произведение векторов и ;
· п = (Cп1, Cп2, …, CпN) – вектор стоимостей единиц i -товаров;
· – вектор, равный сумме вектора и вектора rЗ× п;
· × - скалярное произведение векторов и ;
· = (Р п1, Р п2, …, Р пN) – вектор прибылей для единиц i -товаров;
· = п+ – вектор выручки для единиц i -товаров;
· оп= (C оп 1 , Cоп 2 , …, C оп N) – вектор соответствующих издержек доставки для единиц i -товаров;
· опп - вектор, равный сумме вектора опи вектора п;
· × опп – скалярное произведение векторов и опп.
Вернемся к анализу интересующей нас целевой функции F = F(Тоб ) в рамках рассматриваемой задачи максимизации интенсивности потока доходов для соответствующей системы управления запасами. Используя введенные обозначения перепишем (с учетом равенств Тоб = qi /Di ) эту функцию в следующем более компактном виде
|
|
F0 (Тоб) = × – (1 + r Tоб /2)[ + × опп + × × ]
Упорядочивая слагаемые по степеням Тоб, домножая при этом для удобства на 2, причем опуская слагаемые, которые не зависят от Тоб ,и меняя знак целевой функции на противоположный, перепишем задачу оптимизации в виде
[ 2 C0 / Тоб + Тоб ( × )] + Тоб × r ×( × опп)+ Т2об × ×( × ) ® min.
Анализируя последнее выражение легко видеть, что в этой записи оно вполне аналогично (с учетом замены на ) выражению для целевой функции применительно к рассмотренной в главе 7 модификации модели с учетом временной стоимости денег. Следовательно, все выводы, сделанные ранее в главе 7, относятся (с учетом указанной замены) и к анализируемому здесь случаю, когда помимо учета временной стоимости денег требуется учитывать и потери, обусловливаемые «замороженными» в запасах денежными средствами. А именно, отметим следующее.
1. В частности, первое слагаемое (специально выделенное и взятое в квадратные скобки), рассматриваемое как функция переменного Тоб в области Тоб > 0, имеет единственную точку минимума Тоб0 (напомним, что для такой точки справедливо равенство Тоб0 , – см. приведенное выше сравнение для случая r = 0). Применительно к Тоб0 будут иметь место рекомендации, относящиеся к соответствующей модели, но без учета временной структуры процентных ставок и, соответственно, без учета временной стоимости денег.
2. Точка минимума (обозначим ее через Тоб*) для функции F(Тоб) окажется расположенной в интервале (0; Тоб0), т.е. левее рекомендуемой при традиционном подходе точки Тоб0 применительно к аналогичной модели, когда временная структура процентных ставок не учитывается. Другими словами, оптимальное значение Тоб* длительности периода времени между общими поставками (с учетом издержек «замороженных» в запасах денежных средств, а также с учетом временной стоимости денег) с всегда будет меньшим, чем дадут традиционные рекомендации, т.е. всегда в условиях рынка, когда необходимо учитывать соответствующие процентные ставки, выполняется неравенство
|
|
Тоб* < Тоб0.
3. При этом, естественно, и для значений оптимальных размеров i -заказов qi* в поставляемой партии также выполняются неравенства
qi* < qi0,
где qi0 - рекомендуемые (но без учета временной стоимости денег) размеры i -заказов в партии общей поставки применительно к рассматриваемой модификации модели. Насколько велико соответствующее расхождение для этих основных параметров стратегии управления запасами и какие возможности для повышения эффективности системы дает учет временной стоимости денег можно будет увидеть из дальнейшего анализа.
4. Параметры, характеризующие оптимальную стратегию управления запасами применительно к анализируемому здесь случаю, когда помимо учета временной стоимости денег требуется учитывать и потери, обусловливаемые «замороженными» в запасах денежными средствами можно находить по представленному в главе 7 алгоритму. А именно, оптимальная величина длительности Тоб* периода времени между общими поставками и оптимальные размеры i -заказов qi*, максимизирующие интенсивность потока доходов для рассматриваемой модификации модели управления запасами находятся по формулам
Тоб* = Тоб0 / z0
qi* = Тоб* × Di,
где
,
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Обратим внимание на следующий факт. Анализ полученных результатов для оптимальной стратегии управления запасами показывает, что в рамках рассматриваемой модели исследуемые параметры (оптимальная длительность периода времени Тоб* между общими поставками и оптимальные размеры i -заказов qi* в партиях поставок) не зависят, как и для модификации модели в главе 7, от показателей РПi , характеризующих прибыль на единицу i -товара.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Кстати, обратим внимание на то, что полученное выше выражение для функции F = F(Тоб ) дает возможность получать соответствующие формулы, по которым следует оценивать различные годовые издержки или потери применительно к рассматриваемой модели для ситуации, когда учитывается временная стоимость денег (в отличие от традиционных рекомендаций, при которых процентные ставки не учитываются). А именно, в частности, приведем их применительно к следующим показателям.
1. Для накладных расходов на общие поставки анализируемой группы товаров за год –
(1+ r×Тоб/2)×
(а не С0 /Тоб, как это принято в традиционных рекомендациях).
2. Для годовых издержек хранения по i -товарам –
(1+ r×Тоб/2)× × Chi
(а не × Chi, как это принято в традиционных рекомендациях).
3. Для суммарных годовых издержек хранения по всем видам товаров –
(1+ r×Тоб/2)×
(а не , как это принято в традиционных рекомендациях).
4. Для годовых потерь из-за «замороженных» денежных средств в i-товарах –
(1+ r×Тоб/2)× rЗ× × CПi
(а не rЗ× × CПi, как это принято в традиционных рекомендациях).
5. Для суммарных годовых потерь из-за «замороженных» денежных средств по всем видам товаров –
(1+ r×Тоб/2)× rЗ×
(а не rЗ× , как это принято в традиционных рекомендациях).
6. Для среднегодовых затрат на содержание запасов по i -товарам –
(1+ r×Тоб/2)× × CПi
(а не × CПi, как это принято в традиционных рекомендациях).
7. Для суммарных среднегодовых затрат на содержание запасов по всем видам товаров –
(1+ r×Тоб/2) ×
|
|
(а не × , как это принято в традиционных рекомендациях).
ПРИМЕР 8.2. Для иллюстрации соответствующих процедур нахождения интересующих нас параметров оптимальной многономенклатурной стратегии управления запасами с общими поставками в рамках рассматриваемой модели с учетом временной стоимости денег, а также для иллюстрации отклонений основных показателей такой оптимальной стратегии по сравнению с рекомендациями традиционного подхода (без учета временной структуры процентных ставок) рассмотрим условную ситуацию предыдущего примера 8.1 с тремя видами продуктов. А именно, параметры модели соответствуют классическому примеру из книги [Дж. Букан, Э. Кенигсберг Научное управление запасами. – М.: Наука, 1967]. Для наглядности они представлены в следующей таблице.
Табл. 8.2
Показатели, характеризующие запасы трех видов продукции
Продукт | |||
Годовое потребление Di | D1 = 12000 | D2 = 25000 | D3 = 6000 |
Издержки хранения Сhi | Ch1 = 0,6 | Ch2 = 0,4 | Ch3 = 1,2 |
Стоимость ед. товара Спi | Cп1 = 3 | Cп2 = 2 | Cп3 = 6 |
Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, как и ранее, полагаем Cопi = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, пусть при общих поставках накладные расходы на одну поставку составляют С0 = 40 (у.е.). Также для определенности считаем, что Рпi / Cпi = 0,5 (для всех видов продуктов). Наконец, принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r = 0,2, а соответствующие годовые потери для «замороженных» в запасах денежных средств также составляют 20%, т.е. rЗ = 0,2.
Найдем параметры оптимальной стратегии управления запасами при общих поставках этих товаров с учетом временной структуры процентных ставок и сравним их с полученными в примере 8.1.
РЕШЕНИЕ. Прежде всего отметим, что в рамках рассматриваемого примера имеем:
· = (12000; 25000; 6000), = (0,6; 0,4; 1,2), так что ( × ) = 24400, (т.к. 24400 = 12000×0,6 + 25000×0,4 + 6000×1,2);
· п = (3; 2; 6), так что = (1,2; 0,8; 2,4);
· поскольку =2× , то ( × ) = 48800;
|
|
· опп = п = (3; 2; 6), т.к. С опi = 0;
· × опп = × п = 122000 (=12000×3 + 25000×2 + 6000×6).
Для нахождения оптимальной стратегии в данной ситуации с учетом временной стоимости денег, предварительно находим значение соответствующего cosa:
,
т.е. cosa = 0,011452.
Затем, переходя к (как видим, для данной ситуации он, практически, соответствует 90°) находим значение = 0,867. После этого определяем значение показателя z0:
,
т.е. z0 = 1,2247.
Определив значение z0 = 1,2247, переходим к анализу основных параметров оптимальной стратегии управления запасами в рамках рассматриваемого примера. А именно, соответствующее оптимальное значение Тоб * периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег для рассматриваемого случая составляет (с учетом того, что Тоб0 = 0,04049, - см. пример 8.1):
Тоб * = Тоб 0 / z0 = 0,04049 / 1,2247 = 0,03306.
Соответственно, в оптимальном случае с учетом временной стоимости денег при общих поставках этих товаров (после округления) имеем:
· объемы товаров в заказе –
q10 = 397, q20 = 826, q30 = 198;
· издержки хранения Хi0 (годовые) по видам i- товаров –
Х10 = 119, Х20 = 165, Х30 = 119 (у.е.);
· среднегодовые стоимости запасов по видам i- товаров –
C31 = 594; C32 = 826; C33 = 594.
· накладные расходы на общие поставки по анализируемой группе товаров за год составят 1210(у.е.).
· средние годовые потери из-за «замороженных» в запасах суммах – 403 (у.е.).
Теперь напомним параметры оптимальной стратегии для случая традиционного подхода, когда временная стоимость денег не учитывается. В этом случае, как было показано в примере 8.1, получилось Тоб0 = 0,04049 (или @ 15 дней). Соответственно такой рекомендации при общих поставках этих товаров было найдено (после округления):
· объемы i-товаров в заказе –
q10 = 485, q20 = 1012, q30 = 242;
· годовые издержки хранения (обозначим их через Хi0) по видам i- товаров –
Х10 = 146, Х20 = 202, Х30 = 146 (у.е.);
· среднегодовые стоимости запасов по видам i- товаров –
C31 = 727; C32 = 1012; C33 = 727;
· накладные расходы на поставки товаров за год составят 988 (у.е.);
· средние годовые потери из-за «замороженных» в запасах суммах – 493 (у.е.).
Как видим, для модифицированной модели при оптимальном управлении запасами с учетом временной стоимости денег (сравните с исходной моделью примера 8.1) имеем:
издержки, обусловливаемые накладными расходами на поставки за год составят 1210 (вместо 988);
суммарные годовые издержки хранения по всем трем видам продуктов составят 403 (вместо 494);
средняя годовая суммарная стоимость запасов по всем трем видам продуктов - 2014 (вместо 2466);
среднегодовые потери из-за «замороженных» в продуктах денежных суммах – 403 (вместо 493).
Итак, если не учитывать временную структуру процентных ставок, то рекомендуемое в рамках традиционного подхода значение периода времени между общими поставками в рамках рассматриваемого примера равняется Тоб 0 = 0,04049 (@ 15 дней). Учет временной стоимости издержек/доходов приводит соответственно к оптимальному значению этого показателя, которое в нашем примере составляет Тоб * = 0,03306 (@ 12 дней). Как видим, отклонение для периода времени между общими поставками партий заказов от оптимального с учетом временной стоимости денег соответствует в данной ситуации ошибке порядка 25%. Понятно, что такая ошибка может привести к существенному изменению стратегии управления запасами и, кроме того, может значительно отразиться на показателе эффективности работы системы. В частности, оценим соответствующее отклонение показателя интенсивности доходов в рамках рассматриваемого примера для интересующих нас двух случаев:
1) при T = Tоб * = 0,03306 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов);
2) при T = Тоб 0 = 0,04049 (стратегия реализуется по рекомендациям без учета временной стоимости издержек/доходов).
Случай 1. При стратегии, использующей показатели Tоб * и qi * для интенсивности доходов Fmax (годовой) имеем:
Fmax = 183 – (1+ 0,2×0,03306 / 2)×(0,04 / 0,0341 +122+ 48,8×0,03306 / 2) = 58,6
(тыс. у.е./год)
Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели Тоб 0 и qi 0 для интенсивности доходов F0 (годовой) имеем:
F0 = 183 – (1+ 0,2×0,04049/2)×(0,04/0,04049+122+48,8×0,04049/2)= 58,51
(тыс. у.е./год)
Как видим, разность Fmax – F0 в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товаров снова имеет порядок 90 у.е. (за год) несмотря на некоторое увеличение общих издержек. Напомним, что в реальных системах управления запасами соответствующий перечень номенклатуры товаров может измеряться сотнями и даже тысячами наименований. Кроме того, при уменьшении длительности интервала времени между общими поставками товаров соотвественно уменьшается и объем страхового запаса по этим товарам, а следовательно и «замороженные» в таком запасе вложенные в товар деньги. Поэтому суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной структуры процентных ставок по всей группе товаров может оказаться весьма существенным.