Задачи для самостоятельного решения

3.5. Найти момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину и образующей угол a со стержнем. Масса стержня m, его длина l.

3.6. Вывести формулу для вычисления момента инерции тонкого обруча относительно оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно его плоскости.

3.7. Доказать, что для любого плоского тела I_z = I_x + I_y, где X, Y и Z – взаимно перпендикулярные оси, причем оси X и Y лежат в плоскости тела, а ось Z перпендикулярна телу. I_x, I_y и I_z – моменты инерции относительно осей X, Y и Z соответственно.

3.8. Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр и направленной перпендикулярно плоскости диска. Масса диска m, радиус R.

3.9. Вычислить момент инерции тонкого однородного диска относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости. Масса диска m = 2 кг, радиус диска R = 0,4 м.

3.10. Показать, что момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно ее оси, можно вычислять по формуле I_z = ml ²,

где m = – “приведенная масса молекулы”, а l – расстояние между атомами (“длина молекулы”).

3.11. * Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии. Масса конуса m, радиус основания R.

3.12. * Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара m, радиус R.

3.13. Вычислить момент инерции и момент импульса земного шара. Воспользоваться справочными данными о параметрах земного шара.

3.14. Однородный круглый диск диаметром d = 10 см и массой m = 1 кг вращается вокруг своей оси, делая ν = 100 об / мин. Постоянная сила трения, будучи приложена к ободу диска, останавливает его за время t = 1 мин. Найти величину этой силы.

3.15. На барабан массой M = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение груза и силу натяжения шнура. Барабан считать однородным цилиндром. Трением на оси цилиндра пренебречь.

3.16. Для определения момента инерции махового колеса радиуса R = 0,5 м относительно оси проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю массой m = 8 кг. Продолжительность опускания гири с высоты h = 2 м при разматывании проволоки составила t = 2 с. Найти момент инерции махового колеса, пренебрегая трением.

3.17. Сплошной цилиндр m = 1 кг насажен на ось. К оси цилиндра прикреплена невесомая нить, которая перекинута через

блок. К концу нити привязан груз массы M = 2 кг (см. рис.). Считая, что цилиндр катится без проскальзывания, найти: а) ускорение груза, б) величину силы трения, действующей на цилиндр. При каком значении коэффициента трения не будет происходить проскальзывания?

3.18. * Конец веревки, намотанной на сплошной цилиндр, тянут с силой F. Радиус цилиндра R, масса m. При каком значении коэффициента трения скольжения m цилиндр не будет проскальзывать?

3.19. В условиях задачи 3.4 найти силу трения между катушкой и столом.

3.20. * На горизонтальной плоскости лежит катушка, масса которой m = 50 г, а момент инерции относительно ее оси I = 5·10^-6 кг × м ². На катушку намотана невесомая и нерастяжимая нить. Радиус внешнего слоя витков r = 2 см, радиус торцов катушки R = 3 см (см. рисунок к задаче 3.4). Коэффициент трения скольжения между катушкой и плоскостью m = 0,2. Как ведет себя катушка, если сила F, с которой тянут за нить, и угол a имеют следующие значения: а) F = 0,128 Н и a = 30º; б) F = 0,1 Н и a = 48,2º; в) F = 0,1 Н и a = 30º и г) F = 0,1 Н и a = 60º.

3.21. Однородный сплошной цилиндр массы m = 1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях. Цилиндр отпускают без толчка.

а) За какое время t цилиндр опустится на высоту h = 50 см? б) Какое натяжение T испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

3.22. * Однородный стержень массы m горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей сразу же после обрыва другой.

3.23. * Гироскоп одного из авиагоризонтов характеризуется следующими данными: масса m = 5 кг; момент инерции относительно собственной оси I_z = 8·10^-3 кг · м ²; гироскоп вращается вокруг собственной оси с частотой n = 20000 об / мин. Определить период прецессии, вызванной тем, что центр тяжести гироскопа отстоит от точки опоры на расстояние l = 0,25 cм.

3.24. * Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет собственный момент инерции I_z, угловую скорость вращения w. Расстояние от точки опоры до центра тяжести волчка равно l.

3.25. * Доказать соотношение M _О = M _C + [ R, P ], где М _О момент импульса системы материальных точек относительно начала О лабораторной системы отчета (Л-система); М_C – момент импульса относительно центра масс С (собственный момент импульса), R – радиус-вектор центра масс в Л-системе, P – суммарный импульс системы точек, определенный в Л-системе.

3.26. Обруч радиуса R и массы m катится без проскальзывания с постоянной скоростью V ₀ по горизонтальной плоскости. Найти модуль момента импульса обруча М (t), относительно точек 1, 2 (см. рис).

3.27. Однородный цилиндр радиуса R и массы m катится без проскальзывания с постоянной скоростью V ₀ по горизонтальной плоскости. Найти модуль момента импульса цилиндра М (t), относительно точек 1, 2, 3, 4, 5 (см. рис).

3.28. Небольшой брусок массы m соскальзывает с вершины наклонной плоскости. Записать выражение для:

а) момента результирующей силы, действующей на брусок, относительно точки О, б) момента импульса бруска М (t), относительно точки О.

3.29. Небольшой мячик массы m брошен под углом a к горизонту с начальной скоростью V ₀. Записать выражение для:

а) момента силы, действующей на мячик, относительно точки бросания, б) момента импульса мячика М (t), относительно той же точки. Сопротивлением воздуха пренебречь.

*) Это утверждение повторяет “уравнение моментов” для системы МТ, доказательство которого см., например, П.К. Кашкаров, А.И. Ефимова «Механика и электромагнетизм» § 4.2 (стр. 28 – 30).

*) На рисунке оси вынесены вправо.