I. Цель работы
Найти оценки параметров случайной величины Y по данным выборочной совокупности (статистической совокупности). В предположении, что закон распределения случайной величины Y – нормальный, построить кривую распределения. Проверить гипотезу нормальности распределения по критерию Пирсона.
2 Пояснения к работе
Для исследования случайной величины Y проведено n независимых испытаний, в результате которых получена выборочная, или статистическая совокупность (выборка) объёма n. Значения элементов выборки представляют собой последовательность
x1; x2; x3; …, xn, (I)
среди членов которой могут быть и повторяющиеся. Работу можно разделить на три этапа.
I. Переход от исходного распределения к условному
Если объём статистической совокупности n ³ 40, то все множества значений (I) разбивается на классы. Число классов k определяется по объёму выборки n с помощью таблицы I.
Таблица I
Объём выборки n | 40 – 60 | 60 – 100 | 100 – 200 | 200 – 500 |
Число классов k | 6 – 7 | 7 – 10 | 10 – 14 | 14 – 17 |
Из множества значений, составляющих выборку (I), выбирают наибольшее xmax и наименьшее xmin значения и определяют длину классового промежутка D:
(2)
Значение D берется приближенно с той же точностью, с которой определены значения элементов выборки (I), причем так, чтобы последняя цифра значения величины D была четной. Приведенное округление не сказывается на основном результате. Поэтому фактическое число классов может несколько отличаться от выбранного. Чтобы фактическое число классов соответствовало табл. I, рекомендуется при первоначальном выборе k не брать крайних значений, приведенных в столбцах табл. I.
Границы классовых промежутков определяются следующим образом: левая граница первого промежутка принимается равной . Левая граница каждого следующего промежутка получается прибавлением D к левой границы предыдущего промежутка. Правый конец каждого промежутка меньше левого конца следующего промежутка на единицу последнего десятичного разряда значений в совокупности (I). Границы промежутков вносятся в стб. I. табл. 2.
Таблица 2
Границы промежутков. от до | Середины проме-жутков xi | Частоты (штрихи) | Частоты Z | Условные значения a | aZ | a2 Z | a3 Z | a4 Z |
## ## // | ||||||||
Сумма | S Z | - | Sa Z | Sa2 Z | Sa3 Z | Sa4 Z |
После того как заполнен стб. I табл. 2, переходят к заполнению стб.2. Для каждого элемента выборки (I) находят классовый промежуток, которому принадлежит этот элемент, и в строке этого промежутка в стб.2 ставят штрих. Рекомендуется четыре штриха ставить вертикально, а пятый – горизонтально, перечеркивая им четыре предыдущих. Когда все n штрихов расставлены, подсчитывается их сумма всех частот S Z и записывается в последней строке в табл.2. Все элементы выборки (I), принадлежащие одному и тому же классовому промежутку, считаются равными между собой и равными середине этого промежутка. Середина промежутка определяется как среднее арифметическое его границ и записывается в стб.2. Отметим, что достаточно найти середину только одного из классовых промежутков, так как середины соседних промежутков отличаются друг от друга на D.
Теперь вместо исходной выборки (I) изучается ее приближение, выборочный ряд , а соответствующие частоты в стб.4 табл.2. Для удобства дальнейших вычислений вводятся условные значения ai:
(3)
где ai - i – е условное значение:
xi – середина i- го классового промежутка;
А – условный нуль.
Условный нуль А – это значение xi, соответствующее среднему классовому промежутку, а если таковых два, то тому из них, который имеет большую частоту zi. Заметим, что вычислений по формуле (3) можно не проводить, так как строке табл.2, соответствующей условному нулю А, соответствует ai = 0, строки над этой имеют соответственно ai-1 = -1, ai-2 = -2, и т.д., а строки под i-й-ai+1 = 1, ai+2 = 2, ai+3 = 3 и т.д. После этого заполняются стб.6,7,8 и 9, а затем последняя строка – «Сумма» – для этих столбцов.
Пример. Исследовать случайную величину X – прочность (разрывная нагрузка)!!!!, в Н пряжи Т = 18,5 текс!!!(№154) с помощью выборки объема n = 40.
144, 149, 199, 174, 176, 183, 239, 208,
120, 150, 203, 160, 180, 207, 221, 220,
117, 158, 170, 282, 177, 218, 210, 190,
225, 149, 250, 101, 179, 236, 198, 193,
230, 240, 163, 238, 178, 183, 213, 211,
Находим xmin = 101; xmax = 282. Для n = 40 из табл.1 выбираем k = 6. Тогда длина классового промежутка
Составляем табл.2 по форме табл.2.
Таблица 3
m1 | m2 | m3 | m4 | |||||
y | xi | zi | ai | aiZi | ||||
86 – 115 116 – 145 146 – 175 176 – 205 206 – 235 236 – 265 266 – 295 | 100,5 130,5 160,5 190,5 220,5 250,5 280,5 | / /// ## /// ## ## // ## ## ## / | -3 -2 -1 | -3 -6 -8 | -27 -24 -8 | |||
Сумма |
Левая граница I-го интервала