Пусть плоская стенка (кожух аппарата, экран) разделяет две среды с температурами tc1 и tс2. (рис.4.1a).
Рис. 4.1. Тепловой поток через стенки:
а- плоскую; б – цилиндрическую
Между средами происходит теплообмен через стенку.
Известны коэффициент теплопроводности стенки λ, ее толщина δ и площадь S,а также суммарные коэффициенты теплоотдачи a1=aк1+aл1 первая среда, и a2 =aк2+aл2 - стенка - вторая среда.
Температура поверхностей стенки неизвестна, обозначимих через t1 и t2.
Определим тепловой поток Р через стенку и температуру ее поверхностей.
В стационарном режиме тепловой поток, передаваемый от первой среды к стенке, равен тепловому потоку, передаваемому от стенки ко второй среде
P = a1 (t1 - tс1) S,
P = a2 (t2 - tс2) S.
Этот же тепловой поток проходит через стенку
Определим из этих уравнений частные температурные напоры
(tс1- t1) = Р / (a1 S),
(t1 - t2) = Р δ / (λ S),
(t2- tс2) = Р / (a2 S).
Складывая почленно правые и левые части, получим
Откуда
Выражение в знаменателе представляет суммарное тепловое сопротивление между первой и второй средой
|
|
Первое слагаемое Ra1 = 1/ (a1 S) представляет тепловое сопротивление участка первая среда - стенка; третье Ra2 = 1/ (a2 S) - сопротивление стенка - вторая среда.
Величина, обратная тепловому сопротивлению, называется тепловой проводимостью соответствующего участка:
s1 = (a1 S), s2 = (a2 S).
Обозначив через
выражение для теплового потока можно представить в виде
P = k (tс1- tс2.) S. (4.3)
Коэффициент k, характеризующий количество тепла, передаваемого через единицу поверхности стенки в единицу времени от первой среды ко второй при разности температур между ними в один градус, называется коэффициентом теплопередачи.
Если в выражении коэффициента теплопередачи пренебречь тепловым сопротивлением стенки, т.е. положить δ / λ = 0, то
выражение этого коэффициента примет вид
откуда следует, что коэффициент теплопередачи всегда меньше наименьшего коэффициента теплоотдачи. Произведение k S = s представляет собой тепловую проводимость между первой и второй средой.
Температура поверхностей стенки может быть определена из [5.1]: t1 = tc1- P Ra1, t2 = tc1- P (Ra1,+Ra2) = tc2- P Ra2.
Для многослойной стенки коэффициент теплопередачи будет иметь вид
где d i и λ i - толщина и коэффициент теплопроводности i- го
слоя.
Как показано выше, тепловое сопротивление цилиндрической стенки длиной L, внутренним радиусом r1 и наружным r2 (4.Iб) будет
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, легко показать, что суммарное тепловое сопротивление между двумя средами, разделенными цилиндрической стенкой, будет равно
|
|
Если стенка многослойная, то выражение для суммарного сопротивления будет иметь вид
где r1 и λi - соответственно радиус и коэффициент тепло-
проводности i-го слоя.
Из выражения (4.6) следует, что при увеличении толщины стенки, т.е. при увеличении r2 и неизменном значении r1, ее сопротивление R увеличивается, а сопротивление стенка -внешняя среда (4.6) уменьшается вследствие увеличения внешней поверхности.
Следовательно, имеется некоторый критический радиус r2 = r2 кр, при котором суммарное сопротивление будет минимальным, а тепловой поток (тепловые потери, когда цилиндрическая оболочка используется как теплоизоляция) максимальным.
Дифференцируя (4.6) по r2 и приравнивая производную нулю, получим