Тепловой поток в стержнях

Рассмотрим стержень, площадь поперечного сечения которого S, периметр сечения U, длина l, причем S и U по длинестержня неизменны. (рис. 4.2a). В торец стержня втекает тепловой поток Р, который кондуктивно передается по стержню, рассеиваясь с его поверхности в среду, температура среды t_c, полный коэффициент теплоотдачи с поверхности стержня a = a_К + a_л, теплопроводность материала стержня l. Найдем распределение температуры вдоль стержня.

Рис.4.2. Тепловой поток в стержне (а) и круглой пластине с источником энергии (б).

Выделим элементарный.участок стержня dx, в который втекает тепловой поток Р, а вытекает Р_x+dx. В стационарном режиме тепловой поток, рассеиваемый с элементарного участка в окружающую среду будет paвен

ΔP = a U Δx θ,

где θ = t_x – t_s - перепад температуры между элементарным

участком и средой.

С другой стороны, разность потоков на входе и выходе элементарного участка ΔP будет ΔP = P_x – P_x+Δx = - (dP/dx) Δx.

Но P = q S = - (dθ/dx) S, тогда

ΔP = P_x - P_x+Δx = l S (d²t / dx²) Δx.

Поскольку эта часть потока рассеивается с поверхности в окружающую среду, то x U Δx θ = l S (d²t / dx²) Δx.

Обозначая через b² = (a U / l S), получим

Полученное дифференциальное уравнение описывает распределение температуры вдоль стержня. Чтобы решить это уравнение, необходимо знать граничные условия. Этими граничными условиями будут:

1. Тепловой поток, рассеиваемый с торца стержня, очень мал по сравнению с тепловым потоком, рассеиваемым боковой поверхностью стержня

2.

2. Тепловой поток равен тепловому потоку, входящему в стержень

При указанных граничных условиях решение дифференциального уравнения имеет вид [4]

Множитель перед тепловым потоком Р представляет тепловой коэффициент

Следовательно,

Здесь Р тепловой поток, рассеиваемый всей поверхностью стержня, равный тепловому потоку, втекающему в его торец.

Чтобы учесть теплоотдачу с торца стержня следует условно увеличить площадь его боковой поверхности на величину площади поверхности торца стержня, приняв условную длину равной l^′, т.е. l^′ U = l U + S, откуда l^′ = l + S/U, и подставить эту условную длину l^′ в выражение теплового коэффициента (4.8).

Для неограниченных стержней выражение для теплового коэффициента получим из выражения (4.8), устремив l к бесконечности.

После преобразований будем иметь

При этом перепад температуры вдоль стержня будет меняться по экспоненциальному закону