Аксиоматический метод построения математики

Аксиоматика

Аксиоматика – система аксиом той или иной математической науки.

Аксиоматический метод построения математической теории заключается последовательном применении следующих действий:

1) перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;

2) указывается список аксиом – исходный положений применяемых без доказательств, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;

3) с помощью определений вводятся дальнейшие понятия;

4) исходя из первоначальных сведений, содержащихся в аксиомах и определениях, доказываются с помощью логических рассуждений дальнейшие факты – теоремы.

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которая состоит в следующем: сколько бы ни выводили теорем из системы аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу.

Многие считают, что аксиомы не доказываются потому, что они очевидны и истинность их подтверждается наглядностью или ответом. Однако заметим, что ответ не является критерием истинности математических предложений. Истинно то, что логически следует из истинного (теоремы), и то, что мы по соглашению первоначально примем за истинное (аксиомы). Система аксиом (постулат) была сформулирована древнегреческим ученым Евклидом (III век до н.э.). Она получила свое развитие в трудах Д. Гильберт (1862 – 1943).

Попытка доказать аксиому Евклида (пятый постулат: через точку, лежащую вне прямой, можно провести в той же плоскости лишь одну прямую, не пересекающуюся с данной) привела к открытию новой, неевклидовой геометрии Лобачевского. Свою геометрию Н.И. Лобачевский назвал воображаемой. Он считал, что сумма внутренних углов треугольника меньше 180°, а разность между 180° и суммой внутренних углов треугольника назвал дефектом треугольника.

Сегодня формулы Лобачевского используются для расчетов современных синхрофазотронов.

Аксиомы есть не только в геометрии, Нои в алгебре, и других математических науках. Например, равенство:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

выражающие свойства сложения и умножения, являются в алгебре аксиомами: они принимаются без доказательства и используются для вывода новых фактов (для доказательства теорем).