Ідемпотентні матриці

Квадратна матриця М ідемпотентна, якщо М² = М М = М.

Досить часто такі матриці зустрічаються в економетрії, ще й симетричні.

Властивості ідемпотентних матриць:

1) Власні числа ідемпот ентної матриці М можуть бути тільки 0 та 1.

доведення:

lх = [M]x = [M]²x = [M]([M]x) = [M]lx = l² x

(l - l²)X = 0, x ¹ 0; l₁=0; l₂=1.

2) rank([M]) = tr [M]

Приклад: Нехай , покажемо, що

[M] = [E_n] - - ідемпотентна

Додаток: З геометричної точки зору ідемпотентна матриця відповідає оператору проектування на векторний простір [ 3 ].

Так, наприклад, матриця [М]=[En]- є проектором на підпростір, ортогональний вектору: