Известно, что события А и В являются независимыми, если . Аналогично определяется и независимость случайных величин и , только вместо событий А и В следует использовать события, связанные с этими случайными величинами.
Определение. Случайные величины и называются независимыми, если для любых имеет место равенство:
или, в терминах функций распределения,
. (3.9)
Если при каких-либо равенство (3.9) не выполняется, то говорят, что случайные величины и являются зависимыми.
Таким образом, независимость случайных величин означает, что их совместная функция распределения равна произведению одномерных функций распределения и , или, как еще говорят, двумерная функция распределения факторизуется.
Отметим, что установить, являются зависимыми или независимыми случайные величины и , можно только по определению (3.9) и только, зная их совместный (двумерный) закон распределения (никакая вероятностная интуиция при этом не работает).
Замечание. В несколько более общем виде независимость случайных величин и определяется следующим образом: для любых борелевских множеств
|
|
.
Но, учитывая, что борелевская -алгебра порождается интервалами вида , оба определения являются эквивалентными (подробнее см. учебник Боровкова А.А. «Теория вероятностей»).
Установим условия независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях.
Лемма 1 (Условие независимости дискретных случайных величин).
Пусть - дискретный случайный вектор, принимающий значения с вероятностями , ; , - вероятности возможных значений случайной величины , - вероятности возможных значений случайной величины .
Дискретные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда при всех и
, (3.10)
то есть вероятность факторизуется.
Если при каких-либо и равенство (3.10) не выполняется, то дискретные случайные величины и являются зависимыми.
(Случай счетного числа возможных значений у какой-либо из дискретных случайных величин или рассмотреть самостоятельно).
▲ Необходимость. Пусть дискретные случайные величины и являются независимыми. Тогда для любых .
Обозначим прямоугольник
со сторонами, параллельными осям
координат, который содержит точку
и не содержит других значений
дискретного случайного вектора .
Тогда
(по построению ) =
= (по свойству 2F4)) =
= (в силу независимости случайных величин) = (по построению ),
то есть , и так можно сделать для любого значения .
Достаточность. Если выполняется равенство (3.10), то в соответствии с определениями функций распределения , имеем:
,
то есть дискретные случайные величины и являются независимыми ■.
|
|
Лемма 2 (Условие независимости непрерывных случайных величин).
Пусть - непрерывный случайный вектор, - его плотность вероятностей, и - одномерные плотности вероятностей его координат, определяемые по формулам (3.8).
Непрерывные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда
(3.11)
для всех , являющихся точками непрерывности функций и , то есть двумерная плотность вероятностей факторизуется.
Если при каких-либо равенство (3.11) не выполняется, то непрерывные случайные величины и являются зависимыми.
▲ Необходимость. Если непрерывные случайные величины и являются независимыми, то
.
Дифференцируя это равенство по и по , получаем:
и, следовательно, в соответствии с определениями плотностей вероятностей , и справедливо равенство:
в точках непрерывности функций и .
Достаточность. Проинтегрируем равенство (3.11) по первому аргументу в пределах от до и по второму аргументу в пределах от до . В результате получаем:
и, следовательно, в соответствии с определениями функций распределения , и для любых справедливо равенство:
,
то есть случайные величины и являются независимыми ■.
Леммы 1 и 2 показывают, что, если случайные величины и являются независимыми, то двумерный закон распределения случайного вектора полностью определяется одномерными законами распределения его координат (то есть понятие случайного вектора в этом случае вырождается).
Утверждения (3.10) и (3.11) лемм 1 и 2 могут служить определениями независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях соответственно.
Пример.
а) Равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат:
Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат:
Поскольку в этом случае , то случайные величины и являются независимыми.
б) Равномерное распределение в круге :
Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат:
Поскольку в данном случае , то случайные величины и являются зависимыми.
Понятие независимости случайных величин обобщается на любое конечное число случайных величин следующим образом.
Определение. Случайные величины называются независимыми в совокупности, если для любого , для любого набора индексов и для любых ,
или, в терминах функций распределения, для любой точки
,
где – функция распределения случайной величины . Таким образом, независимость в совокупности случайных величин означает, что их многомерная функция распределения факторизуется.
Для независимости в совокупности непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей , необходимо и достаточно, чтобы
,
во всех точках непрерывности функций и .
Из независимости случайных величин в совокупности при следует их попарная независимость. Обратное неверно (примером тому по-прежнему служит пример С.Н. Бернштейна, если в качестве случайных величин рассмотреть индикаторные случайные величины соответствующих событий). В дальнейшем при рассмотрении одновременно более двух случайных величин под их независимостью, по умолчанию, будет подразумеваться независимость в совокупности.