Р е ш е н и е

Для доказательства, согласно определению 2.7, следует найти для произвольно заданного числа ε >0 номер n 0 такой, что ∀ n > n 0 выполнялось бы неравенство ∣∣2 n +1 n −2∣∣˂ ε. Из последнего неравенства находим

∣∣∣2 n +1 n −2∣∣∣=∣∣∣2+1 n −2∣∣∣=∣∣∣1 n ∣∣∣< ε, или n >1 ε.

Если положить n 0=[1 ε ], где символом [1 ε ] обозначена целая часть числа 1 ε то при всех n > n 0=[1 ε ], (n ∈N) будут справедливы неравенства

n >1 ε, 1 n < ε, 1 n =∣∣∣1 n ∣∣∣=∣∣∣2 n +1 n −2∣∣∣< ε.

Таким образом, для заданного ε >0 найден номер n 0=[1 ε ], такой, что для всех n > n 0 выполняется неравенство ∣∣2 n +1 n −2∣∣< ε, или, по определению 2.7, lim x →∞2 n +1 n =2, что и требовалось доказать.

Пусть ε =0.1. Тогда

∣∣∣2 n +1 n −2∣∣∣=∣∣∣1 n ∣∣∣<0.1.

Отсюда n >10 и n 0=10. Очевидно, что a − ε =1.9, a + ε =2.1. Следовательно, все члены последовательности { xn } с номерами n > n 0=10 лежат в интервале (1.9,2.1), а члены с номерами n ≤ n 0=10 — вне этого интервала (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Для ε =0.01 найдем: 1 n ˂0.01, n >100, n 0=100, a − ε =1.99, a + ε =2.01. Следовательно, члены xn с номерами n > n 0=100 лежат в интервале (1.99,2.01), а члены с номерами n ≤ n 0=100 — вне этого интервала.

Таким образом, различным значениям ε соответствуют различные значения n 0, т.е., действительно, n 0= n 0(ε).

Определение 2.8.

Предел последовательности {xn} при n→∞ равен бесконечности, если для любого числа M>0 существует номер n=n0(M)∈N такой, что для всех номеров n>n0 выполняется неравенство |xn|>M. Пишут

limx→∞xn=∞, или xn→∞ при n→∞.

В символической форме это определение имеет вид

limx→∞xn=∞ ⇔ ∀M>0∃n0(M)∈N:∀n>n0⇒|xn|>M.

Последнее неравенство равносильно двум неравенствам: xn ˂− M, xn > M. Следовательно, lim n →∞ xn =∞, если для любого числа M >0 найдется номер n 0(M) такой, что начиная с номера n 0+1 все члены xn последовательности будут лежать вне отрезка [− M, M ]. Этому отрезку будет принадлежать лишь конечное число членов x 1, x 2,…, xn 0.