Задание. Метод математической индукции

Метод математической индукции

Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на применении принципа математической индукции

Натуральный ряд – числовая последовательность, элементами которой являются натуральные числа

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.

Метод математической индукции состоит в следующем:

Предложение (утверждение) P (n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:

1. P (1) является истинным предложением (утверждением);

2. P (n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P (n + 1) - истинное предложение (утверждение).

Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:

1. Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P (1).

2. Этап доказательства: предполагается, что предложение P (n) истинно, и доказывается истинность предложения P (n + 1) (n увеличено на единицу).

Пример

.

При n = 1 равенство примет вид , 1=1, следовательно, P (1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

.

Следует проверить (доказать), что P (n + 1), то есть

истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

Получим

то есть, P (n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Задание

Доказать равенства для всех натуральных n (Выполнить два задания)

12) 2+4+6+…+2n=n(n+1)

13) 2+10+24+…+(3n²-n)=n²(n+1)

14) 2+16+56+…+(3n-2)*2ⁿ=10+(3n-5)*2ⁿ⁺¹

15) 5+45+325+…+(4n+1)*5^n-1=n*5ⁿ

16) 1²+3²+5²+…+(2n-1)²=

17) 1*2*3+2*3*4+3*4*5+…+n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)

18)