2015-06-28
910
1. Вычислить 
, если: 
.
Решение:
,
,
,
,
,
Ответ: 184.
2. Выяснить являются ли векторы 
и 
, построенные по векторам 
и 
коллинеарными или ортогональными: 
.
Решение:
1) 
,
.
2) Т.к. 
и не являются коллинеарными.
3) Т.к. 
и не являются ортогональными.
Ответ: и не являются коллинеарными; и не являются ортогональными.
3. Даны A 
. Найти: 1) координаты векторов 
, 
,
2) длины векторов , ,
3) косинусы углов между векторами и 
и 
, 
,
4) определить вид треугольника ABC (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный),
5) площадь треугольника ABC,
6) высоту треугольника ABC, проведенную из вершины С к стороне AB.
Решение:
1) Вычислим координаты векторов: 
,
,
.
2) Найдем длины векторов: 
,
, 
.
3) Найдем косинусы углов:
между векторами и 
: 
,
между векторами и : 
,
между векторами : 
.
4) определить вид треугольника ABC:
Рис.1
т.к. 
– тупоугольный (см. рис.1).
5) Найдем площадь 
: 
.
Замечание: 
.
6) Найдем высоту треугольника ABC, проведенную из вершины С к стороне AB. Для этого построим ее (см. рис. 2, из вершины С проводим перпендикуляр СК на продолжение стороны АВ).
Рис.2
= или 
=
Ответ: 1) 
, 
, 
; 2) 
, 
, 
; 3) между и : 
, между и : 
, между : 
; 4) тупоугольный; 5) 
, 6).
4. Даны 
.
Найти: 1) длины векторов 
и ,
2) косинус угла между векторами и ,
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и ,
4) площадь треугольника, построенного на векторах и .
Решение:
1) Найдем длины векторов и :
,
.
2) Найдем косинус угла между векторами и (см. рис.3) по формуле: 
.
Найдем 
:
.
Тогда 
.
Т.к. 
угол между векторами тупой (см. рис.3).
Рис.3
3) Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах и (см. рис.4) по формуле: 
=
Замечание: 
.
Рис.4
4) Найдем площадь треугольника, построенного на векторах и (см. рис.5) по формуле: 
=
Рис.5
Ответ: 1) 
, 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
5. Компланарны ли векторы 
.
Решение: Воспользуемся определением компланарности трех векторов. Для этого найдем их смешанное произведение: 
.
Т.к. смешанное произведение трех векторов равно нулю, следовательно, эти вектора компланарны.
Замечание: Нетрудно заметить, что элементы третьего столбца это суммы элементов первого и второго столбцов по соответствующим строкам, следовательно, по свойству определителей данный определитель равен нулю.
Ответ: компланарны.
6. Проверить являются ли векторы 
некомпланарными и найти разложение вектора 
по векторам 
.
Решение:
1) Проверим являются ли векторы некомпланарными. Для этого найдем их смешанное произведение: 
.
Т.к. смешанное произведение трех векторов не равно нулю, следовательно, эти вектора некомпланарны.
2) Любой вектор 
в пространстве можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам , т.е. 
. Согласно последнему равенству составляем систему линейных уравнений по координатам:
Полученную систему можно решить любым из методов, рассмотренных в теме «Системы линейных алгебраических уравнений». Воспользуемся методом Гаусса. Для этого составим матрицу коэффициентов 
и приведем ее к квазитреугольному виду. Прибавляем элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки: 
. Умножаем элементы первой строки на «
» и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки: 
. Умножаем элементы второй строки на «
» и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки: 
. Получили квазитреугольный вид, возвращаемся к системе:
– искомое разложение.
Ответ: некомпланарны, 
.
7. Проверить лежат ли точки 
в одной плоскости.
Решение:
Если точки 
лежат в одной плоскости, то три вектора , 
будут компланарны, и наоборот, если точки не лежат в одной плоскости, то три вектора , будут некомпланарны.
Найдем координаты векторов , :
,
.
Проверим являются ли векторы , компланарными. Для этого найдем их смешанное произведение: 
.
Т.к. смешанное произведение трех векторов не равно нулю, следовательно, эти вектора некомпланарны, а, следовательно, точки не лежат в одной плоскости.
Ответ: точки не лежат в одной плоскости.
